Un punto dista 5 unidades del origen del plano cartesiano y la pendiente que lo une al punto A(3,4) es 1/2 . determina las coordenadas del punto mencionado.
Respuestas
Las coordenadas de los puntos son Origen O(0; 0); A (3; 4) por lo que el valor de la Pendiente (m) es 4/3 = 1,33; pero para una Pendiente positiva de ½ = 0,5 se tienen las coordenadas siguientes:
B(4,46; 2,38) y C(– 5,26; – 2,63)
Las Coordenadas del Punto de Origen (O) son:
O (0; 0)
La Pendiente (m) de una Recta es la diferencia de las Ordenadas (coordenadas verticales) sobre la diferencia de las Abscisas (coordenadas horizontales).
Matemáticamente se expresa:
m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
Sustituyendo los valores de los puntos se tiene:
m = (4 – 0)/(3 – 0)
m = 4/3 = 1,33
Para que la Pendiente sea ½ = 0,5 y la longitud de 5 unidades desde el origen, entonces el punto se ubica en las coordenadas siguientes:
La Ecuación Explicita de la Recta es:
y = mx + b
Pero en este caso se tiene que:
b = 0
Por lo que:
y = mx
De modo que:
y = (1/2)x
Luego:
x = 2y
La Distancia entre dos puntos de una recta se obtiene mediante la ecuación:
D = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
Sustituyendo valores:
5 = √[(x₂ – 0)² + (y₂ – 0)²]
5 = √[(x₂)² + (y₂)²]
(5)² = (x₂)² + (y₂)²
25 = (x₂)² + (y₂)²
Pero x = 2y
25 = (2y₂)² + (y₂)²
4y₂² + y₂² – 25 = 0
Se utiliza la Resolvente de la Ecuación de Segundo Grado.
y₁,₂ = [– B ± √(B² – 4AC)] ÷ 2A
A: coeficiente que acompaña al termino cuadrático.
B: coeficiente que acompaña al termino elevado a la unidad.
C: Coeficiente del término independiente o constante.
Donde:
A = 4; B = 1; C = – 25
y₁,₂ = [– (1) ± √(1)² – 4(4)( – 25)] ÷ 2(4)
y1₁,₂ = [– 1 ± √(1 + 400)] ÷ 8
y₁,₂ = [– 1 ± √401] ÷ 8
y₁,₂ = [– 1 ± 20,025] ÷ 8
y₁ = [– 1 + 20,025] ÷ 8
y₁ = 19,025 ÷ 8
y₁ = 2,378125 ≅ 2,38
y₂ = [– 1 – 20,025] ÷ 8
y₂ = – 21,025 ÷ 8
y₂ = – 2,628125 ≅ – 2,63
Entonces los posibles valores de la variable “x” son:
x₂ₐ = 2(2,378125)
x₂ₐ = 4,75625 ≅ 4,76
x₂b = 2(– 2,628125)
x₂b = – 5,25625 ≅ – 5,26