Dado el conjunto: A ={2, 5, 6, 10} , escribir en cada proposición verdadero (V) o falso (F) i) n (A) = 6 ii) {5, 6, 10} ⊆ A iii) Ø ⊆ A
Respuestas
Hola, aquí va la respuesta
A= {2,5,6,10}
Recordemos algunas definiciones
Cardinal de un conjunto n(A)
Es el numero de elementos diferentes que posee un conjunto
Inclusión A⊆ B
Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si todo elemento de A es también elemento de B.
"X ∈ A ⇒ X ∈ B" Definición mas rigurosa
Proposición i: n(A)= 6
El conjunto A tiene 4 elementos en total, todos son diferentes. Por lo tanto:
n(A)= 4
Respuesta: Falso
Proposición ii: {5,6,10} ⊆ A
Recordemos que la inclusión se da entre conjuntos, y al poner llaves a los elementos, se convierten en un subconjunto
Respuesta: Verdadera
Proposición iii: ∅ ⊆ A
Por definición el conjunto vació es un subconjunto de cualquier conjunto
La demostración es muy fácil, partiendo de la definición rigurosa de inclusión y recordando las tablas de verdad del condicional (⇒)
X ∈ A ⇒ X ∈ B
Reemplazando:
X ∈ ∅ ⇒ X ∈ B
Lo que nos dice la primera premisa es que si existe un elemento "x" que sea parte del conjunto vació. Esta proposición es falsa ya que el conjunto vació por definición, no posee elementos
Independientemente del valor de verdad de la 2da pregunta (X ∈ B es V), podemos establecer que valor tiene este condicional
Recordemos que en el condicional, si la primera premisa es verdadera y la 2da es falsa, la conclusión es falsa. Casos contrarios la conclusión sera verdadera (adjunto tabla)
Por lo tanto. Queda demostrado que el conjunto vació esta incluido en cualquier conjunto
Respuesta: Es verdadero
Saludoss
