Respuestas
Hay un grupo de propiedades que te ayudan a simplificar expresiones complejas de logaritmos. Como los logaritmos se relacionan estrechamente con las expresiones exponenciales, no es de sorprender que las propiedades de los logaritmos se parezcan a las propiedades de los exponentes. Como un recordatorio, aquí están las propiedades de los exponentes.
Propiedades de los exponentes
Producto de potencias:
Cociente de potencias:
Potencia de una potencia:
Una propiedad importante y básica de los logaritmos es logb bx = x. Esto tiene sentido cuando conviertes el enunciado a su equivalente en ecuación exponencial. ¿El resultado? bx = bx.
Encontremos el valor de yen. Recuerda , entonces significa que y y debe ser 2, lo que significa . Obtendrás la misma respuesta que es igual a 2 usando la propiedad logb bx = x.
Logaritmo de un producto
Recuerda que las propiedades de los exponentes y logaritmos son muy similares. Con los exponentes, para multiplicar números con la misma base, sumas los exponentes. Con los logaritmos, el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:
logb (MN) = logb M + logb N
Intentemos con el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Problema
Usar la propiedad del producto para reescribir .
Usa la propiedad del producto para escribir como una suma.
Simplifica cada sumando, si es posible. En este caso, puedes simplificar ambos sumandos.
Reescribe log2 4 como log2 22 y log2 8 como log2 23, luego usa la propiedad logb bx = x.
O, reescribe log2 4 = y como 2y = 4 para encontrar y = 2 y log2 8 = y como 2y = 8 para encontrar y = 3.
Usa el método que más tenga sentido para ti.
Respuesta
Otra manera de simplificar sería multiplicando 4 y 8 como primer paso.
¿Obtienes la misma respuesta que en el ejemplo!
Observa la similaridad con la propiedad del exponente: bmbn = bm + n, mientras que logb (MN) = logb M + logb N. En ambos casos, un producto se vuelve una suma.
Ejemplo
Problema
Usar la propiedad del producto para reescribir log3 (9x).
log3 (9x) = log3 9 + log3 x
Usa la propiedad del producto para escribir como una suma.
log3 9 + log3 x =
log3 32 + log3 x =
2 + log3 x
Simplifica cada sumando, si es posible. En este caso, puedes simplificar log3 9 pero no log3 x.
Reescribe log3 9 como log3 32, luego usa la propiedad logb bx = x.
O, simplifica log3 9 convirtiendo log3 9 = y a 3y = 9 y encuentra que y = 2.
Usa el método que más tenga sentido para ti.
Respuesta
log3(9x) = 2 + log3 x
Si el producto tiene muchos factores, sólo sumas los logaritmos individuales:
logb (ABCD) = logb A + logb B + logb C + logb D.
Reescribe log2 8a y simplifica.
A) 3 log2 a
B) log2 3a
C) log2 (3 + a)
D) 3 + log2 a
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Logaritmo de un cociente
Puedes usar la similaridad entre las propiedades de los exponentes y los logaritmos para encontrar la propiedad para el cociente de un logaritmo. Con los exponentes, para multiplicar dos números con la misma base, sumas los exponentes. Para dividir dos números con la misma base, restas los exponentes. ¿Cuál crees que es la propiedad para el logaritmo de un cociente?
Como seguramente sospechaste, el logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.
Logaritmo de un cociente
Con ambas propiedades: y, un cociente se vuelve una resta.
Ejemplo
Problema
Usar la propiedad del cociente para reescribir .
log2 = log2 x – log2 2
Usar la propiedad del cociente para reescribir como una resta.
Respuesta
= log2 x – 1
La primera expresión no puede simplificarse más. Sin embargo, la segunda expresión sí. ¿Qué exponente en la base (2) da un resultado de 2? Como 21 = 2, sabes que log2 2 = 1.
¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a: .
A) 4 – log3 a
B)
C) log3 (4 – a)
D)
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Logaritmo de una potencia
La propiedad faltante de los exponentes es la potencia de una potencia: . La similaridad con el logaritmo de una potencia es un poco más difícil de ver.
Logaritmo de una potencia
Con ambas propiedades, y , la potencia “n” se vuelve un factor.
Ejemplo
Problema
Usar la propiedad de la potencia para simplificar log3 94.
log3 94 = 4 log3 9
Podrías encontrar 94, pero eso no haría más fácil simplificar el logaritmo. Usa la propiedad de la potencia para reescribir log3 94 como 4log3 9.
4 log3 9 = 4•2
Podrías reconocer que 32 = 9, log3 9 = 2.
Respuesta
log3 94 = 8
Multiplica los factores.
Observa que en este caso también pudiste haber simplificado reescribiendo como 3 a la potencia: log3 94 = log3 (32)4. Usando las propiedades de los exponentes, esto es log3 38 y por la propiedad logb bx = x, ¡esto debe ser 8!
Ejemplo
Problema
Usa las propiedades de los logaritmos para reescribir log4 64x.
Usa la propiedad de la potencia para reescribir como .
Reescribe como, luego usa la propiedad para simplificar .
O, pudiste haber reconocido que como 43 = 64, log464 = 3.
Respuesta
log4 64x = 3x
Multiplica los factores.
¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a: log2 x8?