Un gas con una presión inicial de 1.2 atmósferas a 75 grados centígrados, logra enfriarse a -22° C. ¿Cuál será su presión final?
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Respuesta:
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Explicación:
El aire puede considerarse un gas diatómico cuya capacidad calorífica molar vale
c_v = 20.8\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}} \simeq \frac{5}{2}R
2.1 Calor
En el caso de un calentamiento a volumen constante, la cantidad de calor que entra en el gas vale
Q = nc_v(T_2-T_1)\,
donde el número de moles lo obtenemos de los datos del estado inicial. Tenemos que
T_1 = 300\,\mathrm{K}\qquad\qquad p_1 = 10^5\,\mathrm{Pa}\qquad\qquad V_1 = \pi (0.05\,\mathrm{m})^2\cdot 0.10\,\mathrm{m}=7.85\times 10^{-4}\,\mathrm{m}^3
y sustituyendo
n = \frac{p_1 V_1}{R T_1} = \frac{10^5\times 7.85\times 10^{-4} }{8.314\times 300}\,\mathrm{mol} = 0.0315\,\mathrm{mol}
Esto nos da el calor
Q = 0.0315\times 20.8\times(450-300)\,\mathrm{J}=98.2\,\mathrm{J}
2.2 Trabajo
En un proceso a volumen constante no se realiza trabajo sobre el gas
W = 0\,\mathrm{J}
2.3 Energía interna
Por el primer principio de la termodinámica
\Delta U = Q + W = 98.2\,\mathrm{J}+0.0\,\mathrm{J} = 98.2\,\mathrm{J}
Este resultado se podría haber hallado directamente aplicando que la energía interna es una función de estado y su incremento vale (suponiendo cv constante)
\Delta U = nc_v\,\Delta T
independientemente de si el proceso es a presión constante, a volumen constante o de cualquier otra forma.
2.4 Entalpía
La entalpía de un gas se define como
H = U + p V\,
con lo que su incremento vale
\Delta H = (U_2+p_2V_2)-(U_1+p_1V_1) = \Delta U + (\Delta p)V_1\,
donde hemos usado que el volumen final es igual al inicial. El incremento en la presión del gas se debe al aumento de temperatura
\Delta p = \frac{nRT_2}{V_2}-\frac{nRT_1}{V_1}=\frac{nR}{V_1}(T_2-T_1) = \frac{0.0315\times 8.314}{7.85\times 10^{-4}}(450-300)=50000\,\mathrm{Pa}
y esto nos da una variación de la entalpía
\Delta H = 98.2\,\mathrm{J}+50000\times 7.85\times 10^{-4}\,\mathrm{J} = 137.5\,\mathrm{J}
Se pueden ahorrar muchas cuentas si en lugar de sustituir directamente los valores numéricos se opera algebraicamente. Tenemos
\Delta H = \Delta U + (\Delta p)V_1 = nc_v\,\Delta T + \left(\frac{nRT_2}{V_1}-\frac{nRT_1}{V_1}\right)V_1 = n(c_v+R)(T_2-T_1) = n c_p\,\Delta T
siendo cp la capacidad calorífica molar a presión constante, que para un gas diatómico como el aire vale
c_p = 29.1\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}\simeq \frac{7}{2}R
Este resultado es general. Para un gas ideal la variación de entalpía, que es una una función de estado, vale (suponiendo cp constante)
\Delta H = nc_p\,\Delta T
independientemente de si el proceso es a presión constante, a volumen constante o de cualquier otra forma.