Question

La temperatura, en grados celsius, de una ciudad está dada por la siguiente función g(x)=0.4x2−3.2x+3.1, donde x es el tiempo transcurrido en horas. ¿Cuál fue la temperatura mínima de la ciudad y a qué hora se produjo?

Answer 1

La temperatura mínima de la ciudad es de  3.3 °C  y ocurre transcurridas 4 horas (asumimos que será a las 4 am).

Explicación paso a paso:

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.

Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar  la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de g.

g'  =  0.8x  -  3.2

       

g' = 0         ⇒         0.8x  -  3.2  =  0         ⇒        x  =  4

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

g''  =  0.8

Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$\bold{g''_{(4)}~>~0}$          ⇒        

x  =  4                es un mínimo de la función g.  

Cuarto, evaluamos la función en el valor mínimo de  x  y obtenemos el valor mínimo de g; es decir, el valor de la temperatura mínima de la ciudad.  

$\bold{g_{(4)}~=~3.3}$  

La temperatura mínima de la ciudad es de  3.3 °C  y ocurre transcurridas 4 horas.