Question

7. Juan ha ahorrado en su alcancía 50 soles entre monedas de 2 soles y 5 soles. En total habían 16 monedas. ¿Cuántas monedas de cada denominación había en su alcancía?

Answer 1

Juan tiene 10 monedas de 2 soles y 6 monedas de 5 soles

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Llamamos variable "x" a las monedas de 2 soles y variable "y" a las monedas de 5 soles

Donde sabemos que

El total de monedas que Juan tiene es de 16

Donde sabemos que el monto total que suman las monedas es de 50 soles

Teniendo monedas de denominación de 2 soles

Teniendo monedas de denominación de 5 soles

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de monedas de denominación de 2 soles y la cantidad de monedas de denominación de 5 soles para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de monedas que Juan tiene en total en su alcancía

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y =16 }}$                         $\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

Luego como Juan ahorra en dos denominaciones o dos clases de monedas, sumamos las monedas de valor de 2 soles y las monedas de valor de 5 soles para plantear la segunda ecuación, y la igualamos al monto total de dinero que estas suman

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 5y = 50 }}$                    $\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

Luego

Despejamos y en la primera ecuación

En

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 16 }}$

Despejamos y

$\large\boxed {\bold {y =16 -x }}$                   $\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$          

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

$\large\boxed {\bold {y =16 -x }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2}$

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 5y =50 }}$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 5 \ (16 -x) = 50}}$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 80\ -5x = 50 }}$

$\boxed {\bold {2x \ - \ 5x\ +\ 80 = 50 }}$

$\boxed {\bold {-3x\ +\ 80 = 50 }}$

$\boxed {\bold { -3x = 50 -80 }}$

$\boxed {\bold { -3x = -30 }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{-30}{-3} }}$

$\large\boxed {\bold { x = 10 }}$

Por lo tanto Juan tiene 10 monedas de 2 soles

Hallamos la cantidad de monedas de 5 soles que Juan tiene

Reemplazando el valor hallado de x en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

$\large\boxed {\bold {y =16 -x }}$

$\boxed {\bold {y =16-10 }}$

$\large\boxed {\bold {y =6 }}$

Luego Juan tiene 6 monedas de 5 soles

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

$\boxed {\bold {x \ +\ y = 16}}$

$\bold { 10 \ monedas\ de \ 2\ soles\ + \ 6 \ monedas\ de \ 5\ soles = 16 \ monedas}$

$\boxed {\bold {16 \ monedas = 16 \ monedas }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 5y = 50 }}$

$\bold {2 \ soles \ . \ 10 \ monedas\ \ + \ 5 \ soles \ . \ 6 \ monedas\ = 50\ soles }$

$\bold {20\ soles \ + \ 30\ soles = 50 \ soles }$

$\boxed {\bold { 50 \ soles = 50 \ soles }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$