Question

La región esta comprendida entre la parábola f(x) =x ^2 + 2 y el eje x positivo y las rectas. x = −4yx = 2

La región sombreada corresponde al área superficial de una piscina, la misma que tiene una profundidad uniforme de 2.00m, si el arquitecto que ha diseñado la piscina desea calcular el costo para recubrir las paredes de dicha piscina, sabiendo que el costo para recubrir los lados laterales es de S/ 25. 00 el m^2 y para recubrir el fondo es de S/. 20.00 el m^2, calcule el costo aproximado utilizando sumas de áreas de trapecios (6 trapecios de igual altura) y el costo real (utilizando la integral definida) e indique cual es la diferencia y por que se produce tal diferencia, además también calcule el volumen total aproximado (utilizando trapecios ) y el volumen real (utilizando la integral ) .

Obs: En el gráfico, cada unidad corresponde a 1m.

Answer 1

El costo de recubrir las paredes y el fondo de la piscina es:

S/. 2093.00

Las diferencias entre los dos métodos empleados radica en que el trapecios es una aproximación esto quiere decir que no es exacta, mientras que la integral es es exacta.

El volumen es:

Vp = 49 m³

V = 72 m³

Explicación:

Datos;

La región está comprendida entre

• parábola f(x) = x² + 2
• eje x positivo
• las rectas: x = −4  ; x = 2

una profundidad uniforme de 2.00 m

calcular el costo para recubrir las paredes de dicha piscina, sabiendo que el costo para recubrir los lados laterales es de S/ 25. 00 el m² y para recubrir el fondo es de S/. 20.00 el m².

El área de la piscina es:

$\int\limits^2_{-4} {x^{2}+2 } \, dx$

= (x³/3 + 2x)

=  (2³/3 + 2(2)) -((-4)³/3 + 2(-4))

= 20/3 + 88/3

= 36 m²

El costo de cubrir el fondo:

Cf = (36)(20.00)

Cf = S/. 720.00

Longitud de la curva;

$\int\limits^a_{b} {\sqrt{1+[f'(x)]^{2} } \, dx$

f'(x) = 2x

sustituir;

$\int\limits^2_{-4} {\sqrt{1+[2x]^{2} } } \, dx$

= 21.46 m

Longitud del eje x:

2 - (-4) = 6.00 m

Multiplicar la longitud de la curva con la profundidad;

área lateral = (21.46) (2.00) + (6.00) (2.00)

área lateral = 54.92 m²

El costo de las paredes laterales:

Cl = (54.92)(25.00)

Cl = S/. 1373.00

Costo total de recubrir la piscina:

C = 720 + 1373

C = S/. 2093.00

Aplicar método del tapecio:

$\int\limits^a_b {f(x)} \, dx = \frac{h}{2}[f(a) +2f(a+h) + 2f(a+2h) ... f(b) ]$

h = 2+4/6 = 1

a = -4

f(a) = 18

a+ h = -4 + 1 = -3

f(a+h) = 11

a+2h = -4+2 = -2

f(a+2h) = 6

a+3h = -4+2 = -1

f(a+3h) = 3

a+4h = -4+4 = 0

f(a+4h) = 2

a+5h = -4+5 = 1

f(a+5h) = 3

a+6h = b= -4+6 = 2

f(a+6h)  = f(b)= 6

Sustituir:

= 1/2[18+11+6+3+2+3+6]

= 24.5  m²

calcule el volumen total aproximado (utilizando trapecios ) y el volumen real (utilizando la integral ).

El volumen es el producto del área por la profundidad;

Volumen por trapecios;

Vp = 24.5(2)

Vp = 49 m³

Volumen por integrales;

V = 36(2)

V = 72 m³