Tomado de Haeussler & Paul. (2003). Matemáticas para administración y economía. Los ingresos mensuales (en miles de dólares) de una empresa que fabrica máquinas electromecánicas están dados por la función I(x)=100x-2, donde x es la cantidad de máquinas electromecánicas que se fabrican en el mes. a) ¿Cuántas máquinas electromecánicas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? R. 99 máquinas b) Si decimos que el ingreso fue de mil dólares aproximadamente, ¿cuántas máquinas electromecánicas se fabricaron? R.11 ó 89 máquinas c) ¿Cuáles son los ingresos, si se fabrican cinco máquinas electromecánicas? R.475 mil dólares d) ¿A partir de qué cantidad máquinas electromecánicas se comienza a tener pérdidas? R. a partir de 101 máquinas.
Respuestas
Respuesta:
1. ¿Cuántas máquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? f(x) = 1250
2. ¿Si decimos que la ganancia fue de $1000 aproximadamente ¿cuántas máquinas se fabricaron? se fabricaran (x₂) = 13.82 ≈ 14 máquinas para obtener una ganancia de 1000 y no se toma en cuenta x₁ debido a que sería mayor el costo de producción.
3. ¿cuáles son los ingresos y se fabrican 5 máquinas ? f(x) = 450
4. ¿a partir de qué cantidad de máquinas se comienza a tener pérdidas?
( x = 25) - (x = 26)
1250 - 1248 = 2
al producir una unidad más se produce una pérdida de 2 máquinas.
Explicación paso a paso:
Los ingresos mensuales de un empresario de maquinas electromecánicas están dados por la función:
f(x) =100x - 2x², donde x es la cantidad de máquinas que se fabrican en el mes
¿Cuántas máquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso ?
F(x) = 100x - 2x²
x = 25
f(x) = 100(25) - 2(25)²
f(x) = 2500 - 2 (625)
f(x) = 2500 - 1250
f(x) = 1250
se deben producir 25 máquinas para un máximo de ganancia.
¿Si decimos que la ganancia fue de $1000 aproximadamente ¿cuántas máquinas se fabricaron?
f(x) = 1000
f(x) = 100x - 2x²
1000 = 100x - 2x² (se divide entre -2)
- 500 = 50x - x²
x² - 50x + 500 = 0 donde: ax² - bx + c = 0 a ≠ 0 (aplicar ecuación de 2do. grado)
a = 1 b = -50 c = 500
x = -b ± √b² - 4ac sustituir
2a
x = 50 ± √(50)² - 4(1)(500)
2(1)
x = 50 ± √2500 - 2000
2
x = 50 ± √500 (√500) = 22.36
2
x₁ = 50 + 22.36 = 36.18 x₂ = 50 - 22.36 = 13.82
2 2
se fabricaran (x₂) = 13.82 ≈ 14 máquinas para obtener una ganancia de 1000 y no se toma en cuenta x₁ debido a que sería mayor el costo de producción.
¿cuáles son los ingresos y se fabrican 5 máquinas ?
F(x) = 100x - 2x²
x = 5
f(x) = 100(5) - 2(5)²
f(x) = 500 - 2 (25)
f(x) = 500 - 50
f(x) = 450
son los ingresos son de 450
¿a partir de qué cantidad de máquinas se comienza a tener pérdidas?
f(x) = 100x - 2x² f(x) = 100x - 2x²
x = 25 x = 26
f(x) = 100(25) - 2(25)² f(x) = 100(26) - 2(26)²
f(x) = 2500 - 2 (625) f(x) = 2600 - 2 (676)
f(x) = 2500 - 1250 f(x) = 2600 - 1352
f(x) = 1250 f(x) = 1248
entonces:
( x = 25) - (x = 26)
1250 - 1248 = 2
al producir una unidad más se produce una pérdida de 2 máquinas.
Explicación paso a paso: