Question

• El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión.

• El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.

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Answer 1

Explicación paso a paso:

Primer ejercicio:

La fórmula para hallar el n-simo término en una progresión geométrica se define por:

$u_{n} =ar^{n-1}$

donde a es el primer término, n la cantidad de términos de la progresión y r la razón

Nos dicen que el segundo término es 6 y el quinto es 48, por tanto:

$u_{2} =6\\6=ar^{2-1}\\6=ar\\u_{5} =48\\48=ar^{5-1}\\48=ar^4$

de la primera ecuación:

6/r = a

Reemplazando en la segunda ecuación:

48 = 6/r * r^4

8 = r³

r = 2

Reemplazando en la primera ecuación:

a = 6/2 = 3

Por tanto, la progresión quedaría de la siguiente manera:

3,6,12,24,48

Segundo ejercicio:

Nos dicen que el primer término es 3 y el octavo es 384, por tanto:

$u_{8}=384\\384=3r^{8-1}\\384=3r^7\\128=r^7\\r = 2$

La suma de los n-términos en una progresión geométrica se define como:

$S_{n}=\frac{ar^n-a}{r-1}$

Por tanto, para hallar la suma de los 8 primeros términos:

$S_{8}=\frac{3*2^{8}-3}{2-1}\\S_{8}=3*2^8-3 = 765$

La fórmula para hallar el producto de n-términos en una progresión geométrica se define como:

$P_{n}=\sqrt{(a*u_{n} )^n}$

Por tanto, para hallar el producto de los 8 primeros términos:

$P_{8}= \sqrt{(3*384)^8}=1,761*10^{12}$

Un cordial saludo