Question

“Una torre está inclinada 15° con respecto a la vertical, el sol emite una sombra de 80 metros sobre el suelo, cuando el ángulo de elevación del sol es 20°. Si debes hallar la distancia del piso a la parte superior del muro ¿Qué teoremas usas?

Answer 1

Para la resolución del ejercicio se emplea el teorema del seno, también llamado ley de senos. Ya que como datos sólo tenemos un lado y un ángulo, siendo sencillo calcular el valor de los ángulos restantes. Y como se ha mencionado para aplicar el teorema del seno es preciso conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

La altura de la torre inclinada- que equivale a la distancia desde el piso a la parte superior del muro- es de aproximadamente 27,466 metros    

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos

Representamos la situación en un imaginario triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AC (b) que representa la altura de la torre inclinada, el lado AB (c) que equivale a la longitud que proyecta la sombra de la torre sobre la línea del suelo  y el lado BC (a) que es la proyección del ángulo de elevación al sol de 20°    

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto  

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo α  - Para conocer la inclinación de la torre

Sucede que la torre al alejarse de la dirección del sol se inclina 15° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo.

Vamos a calcular la inclinación de la torre

Si la torre no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo

Por lo tanto vamos a restar de 90° los 15° que se alejó de la vertical, para hallar su ubicación  

$\boxed {\bold { \alpha = 90\° - \ 15\° = 75\°}}$

Hallando el valor del ángulo γ    

Por enunciado sabemos un valor de los ángulos del triángulo acutángulo, y en el paso anterior hemos hallado al segundo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180\° = 20\°+ 75\° + \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180\° - 20\°- 75\° }}$

$\boxed {\bold {\gamma = 85\° }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Calculando la altura de la torre inclinada

Lo que es lo mismo que hallar la distancia desde el piso a la parte superior del muro

Hallando el valor del lado b

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(20\° ) } = \frac{ 80 \ metros}{sen(85\°) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 80 \ metros \ . \ sen(20\° ) }{sen(85\°) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 80 \ metros \ . \ 0,3420201 433256 }{0,9961946980917 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 27,361611466053 \ metros }{0,9961946980917 } }}$

$\boxed { \bold { b \approx 27,46612 \ metros } }}$

$\boxed { \bold { b \approx 27,466 \ metros } }}$

La altura de la torre inclinada es de aproximadamente 27,466 metros      

Answer 2

Respuesta:

ier teorema sea seno o coseno para solucionarlo