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24
Mar
Propiedad asociativa: suma y multiplicación
Categoria:
Álgebra, Geometría, Recursos Didácticos
12 Comentarios
La suma y la multiplicación sí tienen la propiedad asociativa pero la resta y la división no la tienen.
Vamos a verlo en cada caso para entender bien el motivo.
La propiedad asociativa de la suma
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La suma tiene la propiedad asociativa y vamos a ver por qué.
Cuales quiera que sean los números a, b y c, siempre se cumple la siguiente igualdad:
(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b
Fijaros en el siguiente ejemplo con números concretos.
Supongamos que a=3, b= 18 y c=1. Ya sabéis que primero hay que calcular los paréntesis.
(3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22
3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22
(3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22
Como habéis visto, independientemente del orden en que hemos agrupado los números, el resultado no varía.
Ahora os voy a mostrar un ejemplo más visual:
Vamos a sumar 3 + 2 + 1, asociando los números (agrupando las frutas) de dos formas diferentes.
Propiedad asociativa
Propiedad asociativa de la suma
En el dibujo de la izquierda primero sumamos los dos primeros números, el 3 y el 2. Y al resultado, que es 5, le sumamos el 1. Nos da 6. En total 6 piezas de fruta.
Para el dibujo de la derecha, primero sumamos los dos últimos números, el 2 y el 1. 2 más 1 nos da 3. Después hacemos 3 más 3 y nos da 6. En este caso también obtenemos como resultado el 6. En total 6 piezas de fruta, las mismas que en el ejemplo anterior.
Esta es la propiedad asociativa de la suma: se puede cambiar el orden en que agrupas los números ya que no influye en el resultado final de la operación.
La propiedad asociativa de la resta
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A diferencia de la suma, la resta no tiene la propiedad asociativa.
Veamos un ejemplo. Queremos restar 10 – 5 -3:
(10 – 5) – 3 = 5 – 3 = 2
10 – (5 – 3) = 10 – 2 = 8
Si restamos los dos primeros números , 10 menos 5, nos da 5. Si luego restamos el 3 nos da 2. Por el contrario, si restamos los dos últimos números primero, 5 menos 3 es 2. Si al 10 le restamos el 2 nos da 8.
Cambiar la forma de asociar los números en la resta sí varía el resultado. Por lo tanto la resta no tiene la propiedad asociativa.
La propiedad asociativa de la multiplicación
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Primero probad a calcular (2 x 3) x 4. Y después, 2 x (3 x 4). ¿Os da el mismo resultado?
Si os ha dado el mismo resultado enhorabuena porque la multiplicación sí que tiene la propiedad asociativa y el resultado no varía aunque cambies el orden de multiplicar los números. El orden de asociar los factores no influye en el producto final de la operación.
(a x b) x c = a x (b x c) = (a x c) x b
Si a= 3, b= 5 y c = 10, nos queda:
(3 x 5) x 10 = 15 x 10 =150
3 x (5 x 10) = 3 x 50 = 150
(3 x 10) x 5 = 30 x 5 = 150
Ahora veamos cómo se cumple esta propiedad con otro ejemplo más visual:
Vamos a contar el número de cubos que hay en la siguiente imagen. En total hay 24 cubos.
Propiedad asociativa con cubos
Para contar el número de cubos, hay varias formas de hacerlo a parte de ir contando uno a uno.
Una forma es contar primero los cubos que hay en una sola columna.
Propiedad asociativa
Si nos fijamos en la primera columna coloreada de naranja hay, 3 x 2 = 6, 6 cubos. ¿Cuántas columnas son en total? Muy bien, hay 4 columnas. Por lo tanto, 6 por 4, nos da el número total de cubos que hay, que son 24 cubos.
Otra forma es contando los cubos que hay en una fila.
Propiedad asociativa
En