Question

Desde un punto en Tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación “α”. Cuando la distancia que nos separa del poste se ha reducido a su tercera parte, el ángulo de elevación se duplica. ¿Cuánto vale α?

Answer 1

Tema: Identidades trigonométricas

⇒$\alpha = 30 \°$

Explicación paso a paso:

Lo más conveniente es esbozar primero un dibujo de un problema para tener más claridad de nuestros datos. Te ajunto la imagen

Teniendo ubicados nuestros datos, también podemos ver que en este caso el valor de "h" no cambiará, solo cambiará la distancia x y el ángulo.

El valor de "h" se puede expresar con ayuda de las identidad trigonométrica:

$tan(\alpha )= \frac{co}{ca}$

despejando:

$tan(\alpha )* ca= co$

Para M1, nuestra ecuación nos queda:

$tan(\alpha )* x= co$               Ec.1

y Para la M2:

$tan(2\alpha )* x= co$              Ec.2

Como ya mencionamos, la altura del poste no cambiará, entonces podemos igualar Ec.1 con Ec.2

$tan(\alpha )* x= tan(2\alpha )* \frac{x}{3} \\\frac{tan(2\alpha )}{tan(\alpha )} = \frac{x}{(\frac{x}{3} )} \\\frac{tan(2\alpha )}{tan(\alpha )} = 3$

Apliquemos otra propiedad que nos dice:

$tan(2\alpha )=\frac{2tan(\alpha )}{1-tan^2(\alpha )}$

$\frac{(\frac{2tan(\alpha )}{1-tan^2(\alpha )})}{tan(\alpha )} = 3\\\\\frac{2}{1-tan^2(\alpha )} = 3\\\\\frac{2}{3} = 1-tan^2(\alpha )\\\\\frac{2}{3} -1= -tan^2(\alpha )$

$\frac{1}{3} = tan^2(\alpha )$

$\sqrt{\frac{1}{3} } = tan(\alpha )\\tan(\alpha )= \frac{1}{\sqrt{3} }$

Finalmente despejamos $\alpha$ y resolvemos:

$\alpha = tan^{-1}( \frac{1}{\sqrt{3} } )\\\alpha = tan^{-1}( \frac{1}{\sqrt{3} } )\\\alpha =30 \°$