Question

Si log log log x = 1 + log2
Calcula W= √log√log√log x

Answer 1

La expresión planteada tiene como resultado $W=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Explicación paso a paso:

La expresión de W la podemos reescribir aplicando las propiedades de los logaritmos, una de ellas consiste en que el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:

$W=\sqrt{log(\sqrt{log(\sqrt{log(x)})})}\\\\W=\sqrt{log(\sqrt{\frac{1}{2}log(log(x)})})}$

Volvemos a aplicar la propiedad para eliminar la segunda raíz:

$W=\sqrt{\frac{1}{2}log(\frac{1}{2}log(log(x)))}$

El logaritmo del producto es igual a la suma de logaritmos:

$W=\sqrt{\frac{1}{2}(log(\frac{1}{2})+log(log(log(x))))}$

Reemplazamos el segundo término por la identidad que nos dieron y queda:

$W=\sqrt{\frac{1}{2}(log(\frac{1}{2})+1+log(2))))}\\\\W=\sqrt{\frac{1}{2}(log(\frac{1}{2}.2)+1))}\\\\W=\sqrt{\frac{1}{2}(0+1)}\\\\W=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$