Question

AYUDA!! Macarena analiza el grado de descomposición de un alimento y considera que está contaminado si la cantidad de bacterias por milímetro cuadrado es igual o superior a 512. Si en un inicio hay 1 bacteria por milímetro cuadrado y se divide en 2 en forma sucesiva cada 10 min, ¿cuánto tiempo demorará el alimento en estar descompuesto?

Answer 1

PROGRESIONES  GEOMÉTRICAS  (Exponenciales)  

Nos dice que cada 10 minutos la bacteria se divide en 2 sucesivamente.

Y nos dice que al alcanzar 512 bacterias por milímetro ya se considera que el alimento está contaminado.

Lo que hay que usar es la progresión geométrica (PG) que es aquella en que el valor de cada término se obtiene de multiplicar por un número fijo llamado razón "r" al término anterior.

Así, si partimos de 1 bacteria, este será el valor del primer término de la PG y diremos:

a₁ = 1

A los 10 minutos se dividirá y tendremos 1×2 = 2 bacterias así que el valor del segundo término será:

a₂ = 2

Del mismo modo, el valor del tercer término será:

a₃ = 4

... y así sucesivamente hasta alcanzar un valor igual o superior a 512 bacterias que será el valor del término  aₙ  que ocupa un número de orden "n" desconocido en la PG y que nos corresponde calcular porque cada uno de esos términos equivale a 10 minutos transcurridos y sabiendo ese dato multiplicaremos por 10 para saber el tiempo que es lo que nos pide el ejercicio.

Los datos necesarios para resolver son:

• Primer término ... a₁ = 1
• Razón de la PG ... r = 2
• Último término de la PG ... aₙ = 512

Se resuelve con la fórmula del término general que dice:

$a_n=a_1*r^{n-1}$

Sustituyo valores...

$512=1*2^{n-1}\\ \\ 512=\dfrac{2^n}{2^1} \\ \\ 1024=2^n\\ \\ n=10$

Si para llegar a 512 se han duplicado 10 veces, el tiempo transcurrido sale de multiplicar esa cantidad por los minutos que pasan desde una a otra duplicación, es decir:

10 × 10 = 100 minutos = 1 hora y 40 minutos es la respuesta.

Saludos.