Question

En la figura aparece una sucesión infinita de cuadrados C1, C2, C3, … Consideramos las sucesiones an, An, y Pn, correspondientes a los lados, áreas y perímetros de los sucesivos cuadrados.
A partir del cuadrado inicial de lado a, cada cuadrado Ck+1 se construye tomando los vértices en los lados del cuadrado anterior, de manera que cada vértice está a una distancia 1/4 a_k del cuadrado Ck .
a. Determine la relación entre a_(k+1) y a_k .
b. Halle las expresiones del término general de las sucesiones an, An, y Pn.
c. Calcule: Σ_1^∞ P_n

Answer 1

$a_1=a\\ \\ a_2=\sqrt{\left(\dfrac{a_1}{4}\right)^2+\left(a_1-\dfrac{a_1}{4}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{10}\,a}{4}\\ \\ a_3=\sqrt{\left(\dfrac{a_2}{4}\right)^2+\left(a_2-\dfrac{a_2}{4}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{10}\,a_2}{4}=\left(\dfrac{\sqrt{10}}{4}\right)^2a\\ \\ \boxed{a_n=\left(\dfrac{\sqrt{10}}{4}\right)^{n-1}a}$

a)  $\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$
b) $A_n = a_n^2\\ \\ p_n=4a_n$
c) 
$\displaystyle S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}4\left(\dfrac{\sqrt{10}}{4}\right)^{n-1}a\\\\ \\ S=\dfrac{4a}{1-\dfrac{\sqrt{10}}{4}}\\ \\ \boxed{S=\dfrac{16a}{4-\sqrt{10}}}$