Question

Ayuda!!

El tercer término de una progresión geométrica es 20. Si la suma de los cuatro términos de esta progresión es 5, calcula la razón.

Answer 1

Respuesta:

r = -0,8895618633

Explicación paso a paso:

La fórmula para hallar el n-simo término en una progresión geométrica se define por:

$u_{n} =ar^{n-1}$

donde a es el primer término, n la cantidad de términos de la progresión y r la razón

Nos dicen que el tercer término es igual a 20, por tanto:

$u_{3} =20\\20=ar^{3-1}\\20=ar^2$ (1)

La suma del n-simo término en una progresión geométrica se define por:

$S_{n}=\frac{ar^n-a}{r-1}$

donde r≠1

Nos dicen que la suma de los cuatro términos es 5, por tanto

$S_{4}=5\\5=\frac{ar^4-a}{r-1}\\5r-5=a(r^4-1)$ (2)

De la ecuación 1 se tiene que:

$\frac{20}{r^2}=a$

Reemplazando en la ecuación 2:

$5r-5=\frac{20}{r^2}(r^4-1)\\ 5r^3-5r^2=20r^4-20\\20r^4-5r^3+5r^2-20=0\\4r^4-r^3+r^2-4=0$

Para resolver este tipo de ecuaciones se puede aplicar la regla de Ruffini, que nos servirá para encontrar una raíz de dicha ecuación

Entonces, resolviendo por Ruffini quedará:

$(r-1)(4r^3+3r^2+4r+4)=0$

Efectivamente se puede concluir que una de las raíces es r = 1, pero cabe recordar que r no puede ser igual a 1, ya que es una condición definida en la fórmula de la suma del término n-simo de una progresión geométrica

Por tanto, lo que se debe resolver ahora es el segundo factor compuesto por:

$4r^3+3r^2+4r+4=0$

Este tipo de ecuación cúbica es irresolvible por la regla de Ruffini, por lo que conviene utilizar el método de Cardano

Este matemático italiano propuso un método interesante para resolver ecuaciones cúbicas que es el siguiente:

1. El coeficiente de la variable elevada al cubo debe ser igual a 1

Dividiendo ambos miembros de la igualdad para 4:

$r^3+\frac{3}{4} r^2+r+1=0$

2. Considerar la ecuación de la siguiente forma:

ar³+br²+cr+d = 0

Determinar el valor de cada uno de los coeficientes:

a = 1

b = 3/4

c = 1

d = 1

3. Como d>0, la ecuación tendrá una raíz real (que es la que nos interesa) y dos raíces imaginarias

4. Para calcular la raíz real consideraremos lo siguiente:

$Q = \frac{3c-b^2}{9}\\Z=\frac{9bc-27d-2b^3}{54} \\S1=\sqrt[3]{Z+\sqrt{Q^3+Z^2}}\\S2=\sqrt[3]{Z-\sqrt{Q^3+Z^2} } \\r = S1+S2-\frac{b}{3}$

Entonces, calculando cada uno de los valores:

$Q=\frac{3(1)-(3/4)^2}{9}=\frac{3-9/16}{9}=\frac{13}{48}\\Z=\frac{9(3/4)(1)-27(1)-2(3/4)^3}{54}=-\frac{25}{64} \\S1=\sqrt[3]{-\frac{25}{64}+\sqrt{(\frac{13}{48} )^3+(-\frac{25}{64} )^2} } =0,2910326058\\S2=\sqrt[3]{-\frac{25}{64}-\sqrt{(\frac{13}{48} )^3+(-\frac{25}{64} )^2} } =-0,9305944691\\S1+S2=-0,6395618633\\r=S1+S2-\frac{3/4}{3}=-0,8895618633$

Nota: la ecuación se puede resolver rápidamente en una calculadora online, pero es importante entender el proceso de resolución de la misma por si más adelante te lo preguntan

Un cordial saludo