Question

Hola, me pueden ayudar con estas ecuaciones?

Answer 1

Explicación paso a paso:

1.

f(x) = 2x+3

Partiendo de la definición de derivada:

$\lim_{h \to \00} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Es importante indicar que esta fórmula se usará como base para la resolución de todos los ejercicios

Continuando con el procedimiento, primero conviene hallar f(x+h):

f(x+h) = 2(x+h) + 3

Reemplazando en la fórmula original tenemos:

$f'(x)=\lim_{h \to \00} \frac{2(x+h)+3-2x-3}{h}\\ f'(x)=\lim_{h \to \00} \frac{2x+2h+3-2x-3}{h}\\ f'(x)=\lim_{h \to \00} \frac{2h}{h}$

Finalmente, resolviendo el límite (simplificar la h en numerador y denominador) tenemos que:

f'(x) = 2

2.

f(x) = x²

f(x+h) = (x+h)² = x²+2xh+h²

Reemplazando en la fórmula original:

$f'(x)= \lim_{h \to \00} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\f'(x)= \lim_{h \to \00} \frac{2xh+h^2}{h}\\f'(x)= \lim_{h \to \00} \frac{h(2x+h)}{h}\\f'(x)=\lim_{h \to \00} {2x+h} = 2x$

3.

f(x) = -4x+5

f(x+h) = -4(x+h)+5 = -4x-4h+5

Reemplazando en la fórmula original:

$f'(x)= \lim_{h \to \00} \frac{-4x-4h+5+4x-5}{h}\\f'(x)= \lim_{h \to \00} \frac{-4h}{h}\\f'(x)=\lim_{h \to \00} -4 = -4$

4.

f(x) = 3x²

f(x+h) = 3(x+h)² = 3(x²+2xh+h²) = 3x²+6xh+3h²

Reemplazando en la fórmula original:

$f'(x)= \lim_{h \to \00}\frac{3x^2+6xh+3h^2-3x^2}{h}\\f'(x)=\lim_{h \to \00}\frac{6xh+3h^2}{h}\\f'(x)=\lim_{h \to \00}\frac{3h(2x+h)}{h}\\f'(x)=\lim_{h \to \00}3(2x+h) = 6x$

5.

f(x) = 3x²-x+2

f(x+h) = 3(x+h)²-(x+h)+2 = 3(x²+2xh+h²)-x-h+2 = 3x²+6xh+3h²-x-h+2

Reemplazando en la fórmula original:

$f'(x)=\lim_{h \to \00} \frac{3x^2+6xh+3h^2-x-h+2-3x^2+x-2}{h}\\f'(x)=\lim_{h \to \00} \frac{6xh+3h^2-h}{h}\\f'(x)=\lim_{h \to \00} \frac{h(6x+3h-1)}{h}\\f'(x)=\lim_{h \to \00} {6x+3h-1}=6x-1$

Un cordial saludo