Luego de hallar una función de transferencia esta está en función a s. ¿Qué significa s, cual es su fórmula dimensional? si tengo por ejemplo w(s)/V(s), ¿podría modelar w en función al tiempo, o solo al voltaje? w: velocidad angular V:Voltaje Es un modelo de motor DC
Respuestas
Explicación paso a paso:
El circuito RC más simple que existe consiste en un condensador y una resistencia en serie. Cuando un circuito consiste solo de un condensador cargado y una resistencia, el condensador descargará su energía almacenada a través de la resistencia. La tensión o diferencia de potencial eléctrico a través del condensador, que depende del tiempo, puede hallarse utilizando la ley de Kirchhoff de la corriente, donde la corriente a través del condensador debe ser igual a la corriente a través de la resistencia. Esto resulta en la ecuación diferencial lineal:
{\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0}{\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0}.
Resolviendo esta ecuación para V se obtiene la fórmula de decaimiento exponencial:
{\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}\ ,}{\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}\ ,}
donde V0 es la tensión o diferencia de potencial eléctrico entre las placas del condensador en el tiempo t = 0.
El tiempo requerido para que el voltaje caiga hasta {\displaystyle {\frac {V_{0}}{e}}}{\displaystyle {\frac {V_{0}}{e}}} es denominado "constante de tiempo RC" y es dado por
{\displaystyle \tau =RC\ }{\displaystyle \tau =RC\ }
Impedancia
La impedancia, ZC (en ohmios) de un condensador con capacidad C (en faradios) es
{\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}}}{\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}}}
La frecuencia compleja s es, en general, un número complejo,
{\displaystyle s\ =\ \sigma +j\omega }{\displaystyle s\ =\ \sigma +j\omega }
donde
j representa la unidad imaginaria:
{\displaystyle j^{2}=-1}{\displaystyle j^{2}=-1}
{\displaystyle \sigma \ }{\displaystyle \sigma \ } es el decrecimiento exponencial constante (en radianes por segundo), y
{\displaystyle \omega \ }{\displaystyle \omega \ } es la frecuencia angular sinusoidal (también en radianes por segundo).
Circuito en serie
Circuito en serie RC
Viendo el circuito como divisor de tensión, el voltaje a través del condensador es:
{\displaystyle V_{C}(s)={\frac {1/Cs}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {1}{1+RCs}}V_{in}(s)}{\displaystyle V_{C}(s)={\frac {1/Cs}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {1}{1+RCs}}V_{in}(s)}
y el voltaje a través de la resistencia es:
{\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{in}(s)}{\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{in}(s)}.
Funciones de transferencia
La función de transferencia desde el voltaje de entrada al voltaje a través del condensador es
{\displaystyle H_{C}(s)={V_{C}(s) \over V_{in}(s)}={1 \over 1+RCs}}{\displaystyle H_{C}(s)={V_{C}(s) \over V_{in}(s)}={1 \over 1+RCs}}.
De forma similar, la función de transferencia desde el voltaje de entrada al voltaje de la resistencia es
{\displaystyle H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={RCs \over 1+RCs}}{\displaystyle H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={RCs \over 1+RCs}}.
Polos y ceros
Ambas funciones de transferencia tienen un único polo localizado en
{\displaystyle s=-{1 \over RC}}{\displaystyle s=-{1 \over RC}} .
Además, la función de transferencia de la resistencia tiene un cero localizado en el origen.
Ganancia y fase
La magnitud de las ganancias a través de los dos componentes son:
{\displaystyle G_{C}=|H_{C}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}{\displaystyle G_{C}=|H_{C}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}
y
{\displaystyle G_{R}=|H_{R}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}{\displaystyle G_{R}=|H_{R}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}},
y los ángulos de fase son:
{\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)}{\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)}
y
{\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)}{\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)}.
Estas expresiones conjuntamente pueden ser sustituidas en la usual expresión para la representación por fasores:
{\displaystyle V_{C}\ =\ G_{C}V_{in}e^{j\phi _{C}}}{\displaystyle V_{C}\ =\ G_{C}V_{in}e^{j\phi _{C}}}
{\displaystyle V_{R}\ =\ G_{R}V_{in}e^{j\phi _{R}}}{\displaystyle V_{R}\ =\ G_{R}V_{in}e^{j\phi _{R}}}.