Question

calculo los elementos de un triangulo oblicuangulo si se sabe que a=19cm,b=24cm y c=13cm​

Answer 1

Los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo dado son de:

A = 52.02°, B = 95.34° y C = 32.64°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Donde se conocen las magnitudes de los tres lados del triángulo

$\bold{a = 19 \ cm }$

$\bold{b = 24 \ cm }$

$\bold{c =13 \ cm }$

Para resolver este ejercicio y hallar los ángulos desconocidos vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Hallamos el ángulo A

Por el teorema del coseno podemos expresar:              

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(24 \ cm)^{2} + (13 \ cm) ^{2} - (19 \ cm)^{2} }{2 \ . \ 24 \ cm \ . \ 13 \ cm } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{576 \ cm^{2} + 169 \ cm^{2} - 361\ cm^{2} }{624 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{745 \ cm^{2} - 361 \ cm^{2} }{624 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{384 \not cm^{2} }{624 \not cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{384 }{624 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 384 }{624 } = \frac{ \not 48 \ . \ 6 }{\not 48 \ . \ 13 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 6 }{13 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )=0.6153846153 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo }$

$\boxed {\bold {A=arccos( 0.6153846153 ) }}$

$\boxed {\bold {A = 52.02012^o }}$

$\large\boxed {\bold {A = 52.02^o }}$

Hallamos el ángulo B

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \ . \ a \ . \ c \ } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{(19 \ cm )^{2} + (13 \ cm )^{2} - (24 \ cm )^{2} }{2 \ . \ 19 \ cm \ . \ 13 \ cm } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{361\ cm^{2} + 169\ cm^{2} - 576 \ cm^{2} }{494 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{530\ cm^{2} - 576 \ cm^{2} }{494 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{-46 \not cm^{2} }{494 \not cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ -46 }{494 } = \frac{ \not 2 \ . \ -23 }{\not 2 \ . \ 247 } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= -\frac{ 23 }{247 } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= -0.0931174089 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo }$

$\boxed {\bold {B=arccos( -0.0931174089 ) }}$

$\boxed {\bold {B = 95.3429^o }}$

$\large\boxed {\bold {B = 95.34^o }}$

Hallamos el ángulo C

Como la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo determinamos el valor del tercero

Planteando

$\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}$

$\boxed {\bold {180^o= 52.02^o +95.34 ^o +C }}$

$\boxed {\bold {C = 180^o- 52.02^o -95.34 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {C = 32.64^o }}$

Se agrega gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas