Question

4. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 60 m/s.
a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al punto más alto?
b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?
c) ¿Cuáles son su posición y su velocidad después de 8s?
d) ¿Al cuánto tiempo tendrá una velocidad de 40 m/s?​

Answer 1

Para resolver tu problema de Tiro vertical debemos hacer uso de las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.

$r(t)= \frac{1}{2} a {t}^{2} + vot + ro$

$v(t) = at + vo$

$a(t) = cte$

Donde

a=aceleración

t=tiempo

vo=velocidad inicial

ro=posición inicial

r(t)=posición en función del tiempo

1) ¿Cuánto tarda en llegar al punto más alto?

Cuando esta en el punto más alto la velocidad es cero.

$v(t)=at+vo$

$0 = at + vo$

Despejando el tiempo

$0 = at + vo \\ t = - \frac{vo}{a}$

Pero la aceleración es la aceleración de la gravedad y de valor negativo ya que se opone al movimiento.

$t = - \frac{ vo}{ - g}$

Esa es la fórmula solo sustituímos datos.

$t = \frac{vo}{g}$

Sustituyendo

$vo=60 [m/s] \\ </p><p>g=9.8 [m/ {s}^{2} ]$

$t = \frac{60}{9.8} s$

$t = 6.12s$

2) ¿La altura máxima que alcanza el objeto?

Sabemos que para la altura máxima solo se debe sustituír el tiempo que tarda el objeto en llegar a su altura máxima en la función de posición.

$r(t)= \frac{1}{2} a {t}^{2} + vot + ro$

$t = \frac{vo}{g}$

Sustituyendo

$r( \frac{vo}{g} )= \frac{1}{2}( - g)({\frac{vo}{g})}^{2} + vo( \frac{vo}{g} )+ ro$

$r(max)= - \frac{ g}{2}( \frac{ {vo}^{2} }{ {g}^{2} } )+( \frac{ {vo}^{2} }{g} )+ ro$

$r(max)= - \frac{ 1}{2}( \frac{ {vo}^{2} }{ g } )+( \frac{ {vo}^{2} }{g} )+ ro$

$r(max)= ( \frac{ {vo}^{2} }{2g} )+ ro$

Esa es la fórmula para calcular la altura máxima.

Sustituyendo los datos

$ro=0 [m] \\ </p><p>vo=60 [m/s] \\ </p><p>g=9.8 [m/ {s}^{2} ]$

$r(max)=( \frac{ {(60)}^{2} }{2(9.8)} ) + 0 \\ r(max) = 183.67m$

Nota: La posición inicial es cero a menos que diga lo contrario el problema.

3) Su posición y velocidad después de "8" segundos.

Solo debemos sustituír el tiempo "t=8 [s]" en la función de velocidad y posición

$r(t)= \frac{1}{2} a {t}^{2} + vot + ro$

$ro=0 [m] \\ </p><p>a=-g=-9.8 [m/ {s}^{2} ] \\ </p><p>vo=60 [m/s] \\ t = 8 [s]$

Esa es la ecuación de posición

$r(t)= - 4.9{t}^{2} + 60t$

Sustitución de datos

$r(8)= - 4.9({8}^{2} )+ 60(8) \\ r(8) = - 4.9(64) + 480 \\ r(8) = 166.4 [m]$

Esta es la ecuación de velocidad

$v(t)=at+vo$

Sustituyendo datos

$v(8)= - (9.8)(8)+60 \\ v(8) = - 18.4 \frac{m}{s}$

Nótese que el objeto ha empezado a caer ya que el tiempo en que llega a su máximo punto (altura) es 6.12 segundos y aquí ya pasaron "8" segundos por lo que todo es lógico ya que su velocidad igual es negativa (indica que va cayendo).

4) ¿En qué tiempo tendrá velocidad de "40m/s"

Debemos igualar la función de velocidad a la velocidad que nos piden y despejar el tiempo.

$v(t)=at+vo$

$v(t)= - gt+vo$

$40 = - gt + 60$

$gt = 60 - 40$

$gt = 20$

$t = \frac{20}{g}$

$t = \frac{20}{9.8}$

$t = 2.04s$

Esas son las soluciones