Question

Desde 3 vértices un polígono regular se pueden trazar 51 diagonales. Determinar la medida de uno des sus ángulos exteriores.

Answer 1

DIAGONALES  Y  ÁNGULOS  INTERNOS  

DE  POLÍGONOS REGULARES

La fórmula para calcular el nº de diagonales (D) de cualquier polígono en función del nº de lados (n) es:

$D=\dfrac{n(n-3)}{2}$

Fíjate en el dibujo que adjunto donde se observa un octógono al cual le he trazado todas las diagonales que pueden salir desde el vértice A y se ve claramente que desde ese vértice solo podemos trazarlas hasta los vértices no contiguos a A, es decir, AC, AD, AE, AF, AG que son 5 vértices.

Y es también se ve que la diagonal AE coincide con la diagonal EA ya que sería la misma diagonal trazada con origen en E y final en A.

Ahí radica la causa y razón por la que las diagonales se obtienen de multiplicar el número (n) de lados   (que coincide con el nº de vértices en cualquier polígono)    por ese mismo número disminuido en tres unidades (n-3) ya que desde cada vértice pueden trazarse diagonales a los vértices no contiguos al origen así que hay que descontar el vértice donde nace la diagonal y sus dos vértices contiguos. Total: 3 vértices.

Y se dividen entre dos porque entre dos vértices puede dibujarse una sola diagonal y sin embargo esa diagonal puede contarse con sentido AE o en sentido contrario EA, es la misma, así que para conseguir el nº real de diagonales, el producto  n·(n-3) debe dividirse entre 2.

Aclarado todo esto y basándonos en ello, si desde 3 vértices pueden trazarse 51 diagonales, desde un vértice podrán trazarse el resultado de dividir:

51 ÷ 3 = 17 diagonales.

Apoyándonos en todo lo explicado, si desde un vértice se pueden trazar 17 diagonales, ese dato nos dice que el polígono tiene:

17+3 = 20 vértices o lados.

Estamos ante un icoságono o isodecágono.

Otra regla conocida es que el ángulo exterior de cualquier polígono REGULAR es igual al ángulo central así que si dividimos los 360º que tiene un ángulo completo entre el nº de lados, obtendremos la medida de un ángulo central o bien ángulo exterior:

360 ÷ 20 = 18º es la respuesta

Saludos.