Question

Una escalera se encuentra apoyada en una pared, separada 4 metros de su base, si el ángulo que forma la escalera con el suelo es de 70º, ¿cuál es la longitud de la escalera?

Answer 1

La longitud de la escalera es de aproximadamente 11,69 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En nuestro imaginario triángulo rectángulo este está conformado por el lado AB  (cateto a) que equivale a la altura de la pared, el lado BC (cateto b) que representa la distancia del la base de la escalera hasta la pared y el lado AC (c) que es la longitud de la escalera apoyada sobre la parte superior de la pared formando un ángulo de 70° con la línea del suelo.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la distancia de la base de la escalera hasta la pared y el ángulo de 70° que su base forma con la línea del suelo

• Distancia de la base de la escalera hasta la pared  = 4 metros

• Ángulo de elevación = 70°

• Debemos hallar la longitud de la escalera

Si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente (b ó lado BC) y la hipotenusa (c ó lado AC)

Como sabemos el valor del cateto adyacente (b o lado BC) y de un ángulo de elevación de 70°, podemos relacionar a ambos mediante el coseno.

Planteamos

$\boxed {\bold { cos (70)\° = \frac{ cateto \ adyacente }{ hipotenusa} = \frac{BC}{AC} }}$

$\boxed {\bold { cos (70)\° = \frac{ distancia \ base \ escalera \ a \ pared }{ longitud \ de \ escalera} = \frac{BC}{AC} }}$

$\boxed {\bold {longitud \ de \ escalera \ (AC)= \frac{ distancia \ base \ escalera \ a \ pared }{ cos (70)\° } }}$

$\boxed {\bold {longitud \ de \ escalera \ (AC)= \frac{ 4 \ metros }{ cos (70)\° } }}$

$\boxed {\bold {longitud \ de \ escalera \ (AC)= \frac{ 4 \ metros }{ 0,3420201433256 } }}$

$\boxed {\bold {longitud \ de \ escalera \ (AC) \approx 11,6952 \ metros }{ } }}$

$\boxed {\bold {longitud \ de \ escalera \ (AC) \approx 11,69 \ metros }{ } }}$

La longitud de la escalera es de ≅ 11,69 metros