Question

Una persona tiene 1.5 metros de estatura y esta ubicado a 16 metros de una torre de 13.5 metros de altura.Calcula el ángulo de elevación con que Victor observa la parte mas alta de la torre.

Answer 1

El ángulo de elevación con el cuál se observa la parte más alta de la torre es de aproximadamente 36° 52’ 12’’

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En este caso primero deberemos dividir a la altura de la torre en dos partes, según el dato de la altura a la cual se ubica la persona que observa la parte más alta de la torre.

Dado que el ángulo de elevación se encuentra al nivel de la altura de los ojos del observador.

$\boxed {\bold { AD - CD = Altura \ de \ la \ Torre - \ Estatura \ Observador}}$

$\boxed {\bold { AD - CD = 13,5 \ metros - \ 1,5 \ metros}}$

$\boxed {\bold { AD - CD = \ AC = 12 \ metros }}$

Luego tenemos un imaginario triángulo rectángulo que está conformado por el lado AB que equivale a una parte de la altura de la torre -que calculamos en el paso anterior- , el lado BC que representa la distancia desde el observador hasta la torre sobre el plano del suelo, y el lado AC que es la proyección del ángulo de elevación desde el observador hasta la parte más alta de la torre

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.  

Conocemos la altura de la torre -o en este caso una parte de ella-, la distancia a la que se encuentra el observador hasta la torre sobre el plano horizontal

• Parte de la altura de la torre  = 12 metros

• Distancia entre el observador y la torre = 16 metros

• Debemos hallar el ángulo de elevación con que es observada la torre

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto opuesto (lado AB) y el del cateto adyacente( (lado BC) por lo que podemos relacionar ambos mediante la tangente.

Planteamos

$\boxed {\bold {tan (\alpha )= \frac{ cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed {\bold {tan (\alpha )= \frac{ parte \ de \ la \ altura \ de \ la \ torre }{ distancia \ de \ la \ torre \ al \ observador} = \frac{AB}{BC} }}$

Reemplazamos

$\boxed {\bold {tan (\alpha )= \frac{ 12\ metros }{ 16 \ metros} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed {\bold {tan (\alpha )= 0,75} }}$

Buscamos el ángulo para el valor de la tangente

$\boxed {\bold {\alpha = arctan (0,75)} }}$

$\boxed {\bold {\alpha \approx 36,86989 } }}$

$\boxed {\bold {\alpha \approx 36\° 52' 12'' } }}$