Question

¿cual es mayor valor que toma $4^{x}$?


$16^{x} =100(4^{x-1} - 1 )$

Answer 1

Vamos a resolver tu ecuacion exponencial.

1) Como vemos primero tenemos que encontrar una forma de expresar todo lo que está en la ecuación en la misma base.

$16^{x} =100(4^{x-1} - 1 )$

$(16)^{x} =100(4^{x-1} - 1 )$

$(16)^{x} =100(4^{x-1}) - 100$

$( {4}^{2} )^{x} =100(4^{x} {4}^{ - 1} ) - 100$

$(4 )^{2x} =100(4^{x} (\frac{1}{4} ) ) - 100$

$(4 )^{2x} = \frac{100}{4} (4^{x} ) - 100$

$(4 )^{2x} = 25 (4^{x} ) - 100$

Ahora pasamos todo a un solo lado.

$(4 )^{2x} - 25( {4}^{x} ) + 100=0$

Ahora hacemos un cambio de variable.

$(4 )^{x} = y$

Entonces

${y}^{2} - 25y + 100=0$

Factorizamos

$( y - 20)(y - 5) = 0$

Ahora aplicamos el teorema del factor nulo que dice que hagamos cero ambos factores

$( y - 20) = 0 \\ y = 20$

$(y - 5) = 0 \\ y = 5$

Ahora volvemos al cambio de variable

$(y - 20) = 0 \\ y = 20 \\ {4}^{x} = 20 \\ Ln( {4}^{x} ) = Ln(20) \\ xLn(4) = Ln(20) \\ x = \frac{Ln(20)}{Ln(4)} \\x ≈2.16$

$(y - 5) = 0 \\ y = 5 \\ {4}^{x} = 5 \\ Ln( {4}^{x} ) = Ln(5) \\ xLn(4) = Ln(5) \\ x = \frac{Ln(5)}{Ln(4)} \\ x≈1.16$

Ahora sólo veamos cual es el mayor valor que toma "x", ya que a mayor valor de "x" mayor valor de "4^(x)"

$4^{2.16}=19.97$