Question

Dos autos parten del mismo sitio y al mismo tiempo, ambas carreteras están cerradas por un ángulo de 67 °, un auto se detiene a 10 km de distancia del punto incial: el auto B se detiene a una distancia de 12.5 km, ¿a ¿Qué distancia en línea recta se en cuentran los dos autos?

Answer 1

La distancia en línea recta a la que se encuentran los dos automóviles es de aproximadamente 12,59 kilómetros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed{ \bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha )}}$

$\boxed{ \bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta )}}$

$\boxed{ \bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Nos piden determinar la distancia en línea recta que existe entre dos automóviles los cuales partieron de un mismo sitio y al mismo tiempo por dos carreteras distintas las cuales conforman un ángulo de 67°, donde uno de los autos se detiene a 10 kilómetros de distancia del punto inicial, y el segundo vehículo se detiene a 12,5 kilómetros del punto inicial    

Esta situación se puede representar en un imaginario triángulo en donde

El lado AC (lado b) representa la trayectoria del automóvil que circula por una de las carreteras y se detiene a 10 kilómetros de distancia del punto inicial, el lado BC (lado a) equivale a la trayectoria del automóvil que circula por la otra carretera y se detiene a 12,5 kilómetros del punto inicial, donde ambos vehículos partieron del mismo sitio y al mismo tiempo con direcciones que describen un ángulo de 67°, y el lado AB (lado c) conforma la distancia en línea recta a la que se encuentran ambos automóviles.

Se pide hallar la distancia en línea recta entre ambos autos, que es el lado AB (lado c) en el triángulo

Hallando la distancia en línea recta entre ambos automóviles (lado AB o lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed{ \bold { AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ AC \ . \ cos(\gamma )}}$

ó

$\boxed{ \bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Reemplazamos valores

$\boxed{ \bold { AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ AC \ . \ cos(\gamma )}}$

$\boxed{ \bold { AB^{2} = 12,5^{2} + 10^{2} - 2 \ . \ 12,5 \ . \ 10 \ . \ cos(67\° )}}$

$\boxed{ \bold { AB^{2} = 156,25 + 100 - 250 \ . \ cos(67\° )}}$

$\boxed{ \bold { AB^{2} = 256,25 - 250 \ . \ 0,3907311284829 }}$

$\boxed{ \bold { AB^{2} = 256,25 - 97, 68 }}$

$\boxed{ \bold { AB^{2} = 158, 57 }}$

$\boxed{ \bold { \sqrt{ AB^{2} } = \sqrt{ 158, 57 } }}$

$\boxed{ \bold { AB \approx 12,5924 }}$

$\boxed{ \bold { AB \approx 12,59 \ kil\'ometros }}$

La distancia en línea recta a la que se encuentran los dos automóviles es de aproximadamente 12,59 km