Determina qué valor o valores puede tomar a para que la función f(x)=x^2+5ax+100 tenga una única solución real.
Respuestas
Respuesta:
a. x^2 + k x + 25
Recordemos que
(x + a)^2 = x^2 + 2*a*x + a^2
Identificamos
a^2 = 25
Entonces
a = 5
Entonces, el término lineal resulta
2*a*x = 2*5*x = 10 x
deducimos que
k = 10
La expresión resulta el cuadrado del binomio (x + a)^2
(x + 5)^2 = x^2 + 10 x + 25 = 0
La única solución que anula el cuadrado es
x = -5
b. x2-4x+2(4-k)=0
pasamos 2(4-k) del otro lado de la ecuacion pero con signo negativo
x^2-4x=-2(4-k)
completamos el cuadrado
x^2-4x+4=4-2(4-k)
simplificamos
(x-2)^2=4-2(4-k)
despejamos x
x-2=raiz cuadrada de (4-2(4-k))
ahora viene el truco
para saber que valores de k hace que esta ecuacion nos de soluciones iguales hacemos lo siguiente
a 4-2(4-k) lo igualamos a cero
osea
4-2(4-k)=0
despejamos a k
4-8+2k=0
-4+2k=0
2k=4
k=4/2
k=2
ya que tienes ese valor lo sustituyes en la ecuación
x2-4x+2(4-k) = 0
la resuelves y veras que tendrá una solución repetida.
c. kx ^ 2 + 8x + 5 = 0
Si las dos raíces de la ecuación cuadrática son reales entonces
D = b ^ 2 - 4ac > = 0
por lo que tenemos , 8 ^ 2 - 4.k.5 > = 0 = > 64 - 20k > = 0
= > 64 > = 20k
= > 20k < = 64
= > K < = 64/20
= > K < = 16/5 < == RESPUESTA
d. La solución general de una ecuación cuadrática ax ^ 2 + bx + c = 0 esx = ( -b +/- sqrt ( b ^ 2 - 4ac ) ) / 2a
Para la ecuación de segundo grado para tener igualdad de raíces , el argumento de la raíz cuadrada debe ser igual a cero y la solución es -b / 2a .
b ^ 2 - 4ac = 0
La conexión de los coeficientes ,
5 ^ 2 - 4 ( 2 ) (k) = 0
25 - 8k = 0
k = 25/8
2x ^ 2 + 5x + 25/8 = 0
x = -b / 2a
= -5 / ( 2 ) ( 2 ) = -5/4
e. K(1/3)(2)+5(1/3)-1=0
Despejando K
K(2/3)+(5/3)-3/3=0
K=(-5/3+3/3)/(2/3)
K=(-2/3)/(2/3)
K=1
g. Transponiendo n:
x^2+mx=-n
Sumando (m^2)/4 a los dos miembros:
x^2+mx+(m^2)/4=(m^2)/4-n
Descomponiendo el primer miembro que es un trinomio cuadrado perfecto: (x+m/2)^2=(m^2)/4-n
Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:
x+m/2=±√( (m^2)/4-n)
Transponiendo
m/2 :
x=-m/2 ± √((m^2)/4-n)
h. k ^ 2 - 4 * 1 * 9 < 0
= > k ^ 2-36 < 0
= > k ^ 2 < 36
= > k < 6 Por lo tanto los valores para k cuando f ( x ) = 0 no tiene raíces reales es entre el intervalo [ 6 , -6 )
Explicación paso a paso: