Question

Ayuda con funciones vectoriales.
Verificar si las siguientes curvas en el espacio se cortan, si e así, determinar el punto de intersección y el ángulo entre sus vectores tangentes en el punto de intersección.
r(t)=(t-2,t^2,t/2)
u(T)=(T/4,2T,T^(1/3))

Answer 1

igualando:
$(t-2,t^2,t/2)=(T/4,2T,\sqrt[3]T)\\ \\ t-2=\dfrac{T}{4}\to t=\dfrac{T}{4}+2\\ \\ t^2=2T\to \left(\dfrac{T}{4}+2\right)^2=2T\to T=8, t=4\\ \\ t/2=2=\sqrt[3]T$

entonces el punto de corte es $(2,16,2)$

Angulo entre los vectores tangentes:
$r'(4)=\left.(1,2t,1/2)\right|_{t=4}=(1,8,4)\\ \\ u'(8)=\left.\left(\dfrac{1}{4},2, \dfrac{1}{3}T^{-2/3}\right)\right|_{T=8}=\left(\dfrac{1}{4},2, \dfrac{1}{12}\right)\\ \\ \\ \cos \theta =\dfrac{(1,8,4)\cdot(1/4,2,1/12)}{\|(1,8,4)\|\cdot \|(1/4,2,1/12)\|}\\ \\ \theta=\arccos\left(\dfrac{199\sqrt{586}}{5274}\right)\\ \\ \boxed{\theta\approx 0.4192326143\mbox{ rad}}$