Question

En la figura aparece una sucesión infinita de cuadrados C1, C2, C3, … Consideramos las sucesiones an, An, y Pn, correspondientes a los lados, áreas y perímetros de los sucesivos cuadrados.
A partir del cuadrado inicial de lado a, cada cuadrado Ck+1 se construye tomando los vértices en los lados del cuadrado anterior, de manera que cada vértice está a una distancia del cuadrado Ck .
a. Determine la relación entre y ak+1 y ak
b. Halle las expresiones del término general de las sucesiones an, An, y Pn.
Calcule ∑∞p_n ver figura en el archivo

Answer 1

Supungamos que el vértice del segundo cuadrado esté a una distancia del vértice del primero $az$ (en el lado izquierdo), donde $z\in (0,1)$ entonces el lado del segundo es:
                       $a_2=\sqrt{a^2z^2+(a-az)^2}=a\sqrt{2z^2-2z+1}$
                      
                      $a_2=a\sqrt{2\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}$

El tercer cuadrado 
$a_3=a_2\sqrt{2\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}\\ \\ \boxed{a_3=a\sqrt{2\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}^2}$

el n-ésimo cuadrado:
$a_n=a\sqrt{2\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}^{\,n-1}$

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$A_n=a_n^2\\ p_n=4a_n$

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$\displaystyle S=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}p_n=4a\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sqrt{2\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}^{\,n-1}\\ \\ \\ \boxed{S=\dfrac{4a}{1-\sqrt{2\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}}}$