Question

Ayudaaa no entiendo Juliana monta en columpio y al balancearse se desplaza 45° a cada lado de la vertical. Si la longitud de la cadena hasta la silla es de 2 m, cuanto mide el arco que describe su movimiento ?

Answer 1

La longitud del arco de la circunferencia que describe el movimiento del columpio es de aproximadamente 3,14 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de longitud de arco de circunferencia

En algunas ocasiones en vez de conocer la longitud total de una circunferencia necesitamos saber sólo una parte de ella, es decir la longitud de un arco de circunferencia.

En el ejercicio propuesto el movimiento del columpio describe un arco de circunferencia

En el caso hipotético que el columpio diera una vuelta completa de 360° estaría recorriendo toda la longitud o perímetro de la circunferencia.    

Vamos a recordar la fórmula para hallar la longitud de la circunferencia, pues nos servirá para una mejor comprensión del problema.

$\boxed {\bold { Longitud \ de \ la \ Circunferencia \ (C) = 2 \ . \ \pi \ . \ r}}$

Donde π es una constante y r es el radio de la circunferencia - el cual es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de la circunferencia-

Sobre el Arco de una Circunferencia

La longitud de arco en una circunferencia conociendo el radio (r) y el ángulo α que forman los dos radios está dada por el producto del valor del radio y del ángulo central α

$\boxed{\bold { Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) = r \ . \ \alpha }}$

Esta fórmula se emplea cuando el ángulo central α está expresado en radianes

El cual no es nuestro caso ya que el valor del ángulo está expresado en grados

Cuando el ángulo está expresado en grados debemos considerar que un ángulo de 360° equivale a 2π radianes, por lo tanto la longitud del arco de la circunferencia equivale a el producto de la longitud de la circunferencia por el valor del ángulo central α dividido entre 360°

$\boxed{\bold { Longitud \ Arco \ Circunferencia = \frac{ Longitud \ Circunferencia \ . \ \alpha }{360\°} }}$Como la longitud de la circunferencia está dada por

$\boxed {\bold { Longitud \ de \ la \ Circunferencia \ (C) = 2 \ . \ \pi \ . \ r}}$

Sustituimos la longitud de la circunferencia por 2 · π · r

$\boxed{\bold { Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) = \frac{ 2 \ . \ \pi \ . \ r \ . \ \alpha }{360\°} }}$

Esta será la fórmula que emplearemos para resolver el problema

Solución al problema

Tengamos en cuenta que cuando el columpio se balancea describe el mismo e igual recorrido a los dos lados de la vertical. Es decir si describe un ángulo α a la izquierda de la vertical, describirá el mismo ángulo α al desplazarse hacia la derecha de la vertical.

Por lo tanto para este ejercicio cuando el columpio se desplaza a la izquierda de la vertical describe un ángulo de 45° y describirá otros 45° cuando se balancea a la derecha de la vertical.

Por ello el ángulo que define al arco de la circunferencia está dado por la sumatoria de los dos recorridos del balanceo del columpio desde la vertical para cada uno de los lados el izquierdo y el derecho.

Siendo el ángulo central que conforma el arco de la circunferencia para este caso de 90°

El radio está definido por la longitud de la cadena hasta la silla del columpio, que en este caso es de 2 metros

Hallando la longitud del arco de la circunferencia

El cual describe el balanceo o movimiento del columpio

$\boxed{\bold { Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) = \frac{ 2 \ . \ \pi \ . \ r \ . \ \alpha }{360\°} }}$

Reemplazamos valores

$\boxed{\bold { Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) = \frac{ 2 \ . \ \pi \ . \ 2 \ metros \ . \ 90\° }{360\°} }}$

$\boxed{\bold { Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) = \frac{ \ \pi \ . \ 4 \ metros \ . \ 90\° }{360\°} }}$

$\boxed{\bold { Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) = \ \pi \ . \ 1 \ metro }}$

$\boxed{\bold { Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) \approx 3,14 \ metros }}$

La longitud del arco de la circunferencia que describe el movimiento del columpio es ≅ 3,14 metros