Question

RESUELVE OTROS PROBLEMAS
2. Se desea saber cuántos números es posible formar con
cuatro dígitos si el dígito de las unidades solo puede ser el
1 o el 2.
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Answer 1

COMBINATORIA. Ejercicios.

Disponemos de 10 dígitos  (del 0 al 9) y nos pide formar números de cuatro dígitos donde la última cifra (la de las unidades)  sea un 1 ó un 2.

No especifica si se pueden repetir los dígitos en un mismo número pero para que no salga un número demasiado grande tomaremos la opción de que NO se pueden repetir.

Para formar números con cifras, importará el orden en que pongamos esas cifras para que nos salga uno u otro número distinto, ok? ya que, por ejemplo, no será el mismo número:  4321 que el número 4312 y son las mismas cifras pero dos de ellas las hemos cambiado de posición.

Es decir:  

• No se pueden repetir las cifras en un mismo número
• Sí que importa el orden para distinguir entre uno y otro número.

Con esas condiciones el modelo combinatorio a usar es el de VARIACIONES.

Y cuántas cifras variaremos?

Pues si hay que dejar fijado el 1 ó el 2 en la última posición, hay que variar las otras tres cifras del número así que vamos a dejar el 1 como última cifra de todos los números que vayamos a formar y por tanto hay que tomar las restantes nueve cifras (el 0 y del 2 al 9)  y agruparlas de 3 en 3 porque la cuarta cifra es el 1 que hemos dejado para la última posición.

Se acude a la fórmula por factoriales de:

VARIACIONES  DE  9  ELEMENTOS (m)  TOMADOS  DE  3  EN  3 (n)

La fórmula dice:  $V_m^n=\dfrac{m!}{(m-n)!}$

Sustituyendo:  $V_9^3=\dfrac{9!}{(9-3)!} =\dfrac{9!}{6!} =\dfrac{9*8*7*6!}{6!} =9*8*7=504$

Fijando el 1 en la última posición de cada número de cuatro cifras y sin repetir cifras, pueden formarse 504 números.

Obviamente, si fijamos el 2 en esa posición, se formarán la misma cantidad de números así que la respuesta se obtiene duplicando esa cantidad:

504 × 2 = 1008 números es la respuesta.

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Si tomamos la opción de que SÍ se puedan repetir las cifras en un mismo número, la fórmula se simplifica bastante ya que solo hay que tomar la cantidad de cifras a variar (9) y elevarla a un exponente que será el número de cifras a poner en cada número (3) es decir que tendríamos esto:

VARIACIONES CON REPETICIÓN DE 9 ELEMENTOS TOMADOS DE 3 EN 3

La fórmula es:  

$VR_m^n=m^n\\ \\ VR_9^3=9^3=729$

Igual que antes, hay que duplicar el resultado para conocer la cantidad de números fijando el 1 y luego el 2 en la última posición así que en este caso se podrían formar:

729 × 2 = 1.458 números.

Saludos.

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso: