Relacionar las razones que forman una proporcion 1:5 8:5 16:10 21:9 6:9 4:6 7:14 3:15 2:5 3:6 7:3 8:20 Para geometria urgente
Respuestas
1. El concepto matemático
de razón
Una de las situaciones matemáticas
más frecuente en todos los Cua-
dernos anteriores ha sido, sin duda, la de
relacionar dos cantidades: lo hemos hecho
al sumarlas y restarlas, o al multiplicarlas y
dividirlas. En particular, al relacionarlas me-
diante la resta y la división, estamos compa-
rándolas. Hay, pues, dos tipos de compara-
ciones entre números: las que nos permiten
averiguar cuál es el mayor calculando la di-
ferencia existente entre ambos, o bien, cal-
culando cuántas veces el mayor contiene al
menor. En la primera situación hablamos de
comparaciones o relaciones aditivas y en la
segunda, de relaciones multiplicativas.
Una razón es una relación
multiplicativa entre dos núme-
ros naturales diferentes de 0.
Hablamos así de la razón “dos a tres”,
“1 a 10”, “7 a 4”, etc. Por ejemplo, si en un
grupo de personas hay 18 hombres y 27 mu-
jeres, diremos que la razón entre el número
de hombres y el de mujeres es de “2 a 3”, es
decir, que “hay 2 hombres por cada 3 mu-
jeres”. En este caso, la razón entre el núme-
ro de mujeres y el de hombres es la inversa,
de “3 a 2”, es decir, que “hay 3 mujeres por
cada 2 hombres”.
Como avisábamos en el Cuaderno ante-
rior, hay que saber distinguir entre los con-
ceptos de razón y de fracción. Este último
alude a la relación –también multiplicati-
va- entre la parte y el todo respectivo. En el
ejemplo anterior, 2/5 representa la fracción
–ya simplificada- correspondiente al núme-
ro de hombres (18) con respecto al total de
personas presentes (18 + 27 = 45). En el con-
cepto de razón no está presente esta relación
de carácter parte-todo.
También puede ser útil recordar los orí-
genes históricos de este objeto matemático
llamado razón. Para ello citamos unos pá-
rrafos del Cuaderno no 9: “Los pitagóricos
(s. VI a.C.) consideraban como números so-
lamente a los números naturales. Pensaban,
además, que la naturaleza se reducía a estos
números, en el sentido de que todo objeto
podía expresarse con un número (la medida
de su magnitud), y las relaciones entre ob-
jetos (entre sus magnitudes), siempre como
una relación entre números naturales.
“Para lograr esta relación suponían que
siempre funcionaría el principio de conmen-
surabilidad, es decir, que dadas dos magni-
tudes (por ejemplo, dos segmentos), siem-
pre era posible encontrar una magnitud (un
segmento) menor que “encajara” un número
exacto de veces en cada una de las dos mag-
nitudes (los dos segmentos) relacionadas. Es
decir, dados los segmentos a y b, podía su-
ceder que ni a encajara un número exacto
de veces en b, ni viceversa. Pero entonces,
siempre era posible encontrar un segmento
menor c, tal que estuviera contenido “n ve-
ces” en a y “m veces” en b, con lo que la re-
lación entre a y b podía denotarse mediante
la expresión n/m.
“Por ejemplo (ver Figura), si la longitud
de un segmento a era “una vez y media” la
de un segmento b, c sería la mitad del seg-
mento b, con lo cual b contendría 2 “mini-
segmentos” c, y a, 3 “minisegmentos” c; así,
la relación entre a y b vendría dada por la
relación 3/2, es decir, “como 3 es a 2”.
a
b
c
“Pero esta relación y su expresión como
aparente “cociente” de dos números na-
turales no era considerada como un nuevo
número –una fracción, la expresión de una
relación parte/todo-, sino como una razón
entre ambas magnitudes, es decir, como la
expresión numérica de la relación entre ellas,
sin que ambas estuvieran necesariamente li-
gadas como un par “parte/todo” (de hecho,
en el ejemplo anterior, los dos segmentos
son independientes). En la Aritmética de los
griegos no existieron, pues, las fracciones
como números al estilo de los babilonios y
egipcios”.
Por cierto, este modelo numérico de ar-
monía –de razones entre números naturales-
para todos los objetos medibles de la natura-
leza se quebró cuando trataron de colocar en
una relación conmensurable algo tan simple
como el lado de un cuadrado y su diagonal.
Los mismos pitagóricos demostraron que
esto no era posible, que si el lado medía 1, la
diagonal debería medir √2, valor inconmen-
surable con 1. Por eso los números como
√2 se denominan “irracionales”, porque no
pueden expresarse como una razón conmen-
surable con la unidad. “Hasta ese momen-
to los griegos habían identificado número y
geometría, pero la existencia de razon