Question

1. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:
y´´ +y=sec^2x

Answer 1

resolvemos la EDO homogénea

$y''+y=0\\ \\ r^2+1=0\to r=\pm i\\ \\ \boxed{y_h=C_1\cos x+C_2\sin x}$

Luego con ayuda del Wronskiano tenemos:

$\left[\begin{matrix} \cos x & \sin x\\ -\cos x & \cos x \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} u'\\ v' \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} 0\\ \sec^2 x \end{matrix} \right]\\ \\ \displaystyle u'(x)=-\sin x \sec^2 x\to u(x)=\int \dfrac{-\sin x}{\cos^2 x}dx\\ \\ u(x)=-\sec x\\ \\ v'(x)=\sec x\to v(x)=\int \sec x\, dx\\ \\ v(x)=\ln |\sec x+\tan x|\\ \\ \boxed{\boxed{y=-1+\sin x\,\ln |\sec x+\tan x|+C_1\cos x+C_2\sin x}}$