Question

1. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:
y´´ +y=sec2x

Answer 1

Resolvamos primero la ec homogénea:  $y''+y=0$
$r^2+1=0\iff r=\pm i$

Solución de la ec. Hom
                            $\boxed{y_h=C_1\cos x+C_2\sin x}$

Variación de parámetros:
"partiremos" de $u(x)\cos x+v(x)\sin c$ con ayuda de la matriz Wronskiana


$\left[\begin{matrix} \cos x&\sin x\\ -\sin x&\cos x \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} u'\\ v' \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\ \sec 2x \end{matrix}\right]$

$\displaystyle u'(x)=-\sin x\sec 2x\\ \\ u(x)=\int -\dfrac{\sin x}{2\cos^2 x-1}dx \\ \\ u(x)=\int \dfrac{d(\cos x)}{2\cos^2 x-1} \\ \\ u(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\dfrac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1}\right|\\\\ v'(x)=\cos x\sec 2x\\\\ v(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\dfrac{1+\sqrt{2}\sin x}{1-\sqrt{2}\sin x}\right|$

Por fin la solución es

$y=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\dfrac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1}\right|\cos x+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\dfrac{1+\sqrt{2}\sin x}{1-\sqrt{2}\sin x}\right|\sin x+C_1\cos x+C_2 \sin x$