Question

Ayuda!❤ La suma de términos de una progresión geométrica es 800. Sabiendo que a: 540 y la razón es 3, calcula el valor del primer termino

Answer 1

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. Ejercicios.

Si suponemos que donde has anotado  a: 540  querías poner  aₙ=540 ya podríamos solucionarlo porque eso significa que el valor del último término de esa PG es 540 aunque no sabemos el valor de "n" que representa el número de términos que la componen.

Recordemos que la razón "r" de la PG es el número por el cual se multiplica cada término para obtener el siguiente.

Así pues sabemos 3 datos:

• El valor de aₙ= 540
• La suma de todos los términos = 800
• La razón de la PG = 3

Habrá que apoyarse en las dos fórmulas más usadas que son la del término general y la de suma de términos.

La primera es:  $a_n=a_1*r^{n-1}$

Sustituyendo datos conocidos:  $540=a_1*3^{n-1}$

Desarrollando eso...

$540=\dfrac{a_1*3^{n}}{3^1} \\ \\ \\ 1620=a_1*3^{n}\\ \\ \\ 3^n=\dfrac{1620}{a_1}$

Y la dejamos así para desarrollar la otra fórmula.

Dicha fórmula es:  $S_n=a_1*\dfrac{r^n\ -1}{r-1}$

Sustituyendo datos conocidos: $800=a_1*\dfrac{3^n\ -1}{3-1}$

Desarrollando eso...

$\dfrac{800*2}{a_1} =3^n\ -1\\ \\ \\ 3^n=\dfrac{1600}{a_1}+1$

He despejado  3ⁿ  en las dos fórmulas así que resuelvo por igualación:

$\dfrac{1620}{a_1}=\dfrac{1600}{a_1}+1 \\ \\ \\ 1620=1600+a_1\\ \\ a_1=1620-1600 = 20$

El valor del primer término es  20

Saludos.