Question

Los brazos de un compás miden 13 centímetros. Calcula el ángulo que hay que abrirlos para dibujar una circunferencia de 10 centímetros de radio.

Answer 1

Para dibujar una circunferencia de 10 centímetros de radio los brazos del compás deben abrirse con un ángulo de 45° 14’ 29'' aproximadamente

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un en un triángulo cualesquiera.  En este caso el triángulo es isósceles y acutángulo

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Tenemos un imaginario triángulo conformado por los dos brazos del compás y el radio de la circunferencia que se traza con él.

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto  

Teorema del Coseno

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados opuestos a estos ángulos respectivamente,

Entonces se cumplen las relaciones

$\boxed {\bold{ a^{2} = b^{2} + c ^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ .\ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold{ b^{2} = a^{2} + c ^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ .\ cos(\beta) }}$

$\boxed {\bold{ c^{2} = a^{2} + b ^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ .\ cos(\gamma) }}$

Donde si

Podemos expresar

$\boxed {\bold{ c^{2} = a^{2} + b ^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ .\ cos(\gamma) }}$

$\boxed { \bold{ cos(\gamma) = \frac{ a^{2} +b^{2} -c^{2} }{ 2 \ . \ a \ . \ b } } }$

Hallando el valor del ángulo γ (C)

Para poder determinar cuanto hay que abrir los brazos del compás

$\boxed { \bold{ cos(\gamma) = \frac{ a^{2} +b^{2} -c^{2} }{ 2 \ . \ a \ . \ b } } }$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold{ cos(\gamma) = \frac{ 13^{2} +13^{2} -10^{2} }{ 2 \ . \ 13\ . \ 13 } } }$

$\boxed { \bold{ cos(\gamma) = \frac{ 169 +169 -100 }{ 2 \ . \ 13\ . \ 13 } } }$

$\boxed { \bold{ cos(\gamma) = \frac{ 169 +169 -100 }{ 338} } }$

$\boxed { \bold{ cos(\gamma) = \frac{ 238 }{ 338} } }$

$\boxed { \bold{ cos(\gamma) = 0,70414220118343 } }$

$\boxed { \bold{ \gamma = arccos(0,70414220118343) } }$

$\boxed { \bold{ \gamma \approx 45\°,2397 } }$

$\boxed { \bold{ \gamma \approx 45\° 14' 23'' } }$

Hay que abrir los brazos del compás para dibujar una circunferencia de 10 centímetros de radio  con un ángulo de 45° 14’ 29'' aproximadamente