Question

Ayuda por favor Sen^6(x)+Cos^6(x) = 1 - 3Sen^2(x)Cos^2(x) como podria demostrarlo?

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

En esta demostración debemos tener claro la formula del la suma de un cubo que es la siguiente:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Buscamos que las identidades que están en potencia 6 queden en potencia 3.

$a^6+b^6=(a^2)^3+(b^2)^3\\\\sen^6(x)+cos^6(x)=(sen^2(x))^3+(cos^2(x))^3$

$(sen^2x)^3+(cos^2x)^3=\\\\(sen^2x+cos^2x)(sen^4x-(cos^2x \ cos^2x)+cos^4x)$

Recordemos que $sen^2x+cos^2x=1$ entonces tenemos que:

$(1)(sen^4x-(sen^2x \ cos^2x)+cos^4x)=\\\\sen^4x-sen^2x \ cos^2x+cos^4x=\\\\sen^4x+cos^4x-sen^2x \ cos^2x$

Completando el cuadrado de las identidades elevadas a la cuatro tenemos que:

 $sen^4x+cos^4x=sen^4x+2sen^2x \ cos^2x+cos^4x-2sen^2x \ cos^2x\\ ...\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: =\left(sen^2x+cos^2x\right)^2-2sen^2x \ cos^2x$

Ahora reemplazamos el resultado.

$sen^4x+cos^4x-sen^2x \ cos^2x =\left(sen^2x+cos^2x\right)^2-2sen^2x \ cos^2x-sen^2x \ cos^2x\\\\(1)^2-2sen^2x \ cos^2x-sen^2x \ cos^2x\\\\1-3sen^2x \ cos^2x$

Queda demostrado que

$Sen^6(x)+Cos^6(x) = 1 - 3Sen^2(x)Cos^2(x)$