Question

Determinar la ecuación de la parabola y=ax^2+bx+c que pasa por (0,1) y es tangente a la recta y=x-1 en (1,0).

Answer 1

Determinación de la ecuación de la parábola con las condiciones dadas.

Sea

$y = ax^2+bx+c$

1. Cálculo del coeficiente c .

Por pasar por (0,1) se tiene que cumplir la ecuación para este punto. Luego

$1 = a\cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$

de donde c = 1

2. Cálculo de los coeficientes a y b.

• Por pasar por (1,0) (punto de tangencia),

$0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1$

es decir,

$b = -a-1$

• Por tener la misma pendiente que la recta tangente en (1,0):

Pendiente de la recta tangente: m = 1

Pendiente de la parábola

- Derivada de la función indicada,

        $y' = 2ax + b$

   y para x = 1  la pendiente es m, así

       $2a + b = 1$

   Sustituyendo b,

       $2a + (-a-1) = 1$

  de donde

      $a = 2$

   y por tanto

      $b = -a-1 = -2-1 = -3$

• Y la parábola es

                                             $y = 2x^2 - 3x + 1$