Question

Calcule "q-p", si la división es exacta: x^4+px^2+q entre x^2-6x+5

Answer 1

Hola, aquí va la  respuesta:

$\frac{x^{4}+ px^{2} + q }{x^{2} -6x+5}$  

Nos piden

q-p

Para resolver este ejercicio, aplicamos el Teorema del resto:

"Sea "a" un numero y P(x) un polinomio. La evaluación o valor numérico de P(x) en x=a, es igual al resto de dividir a P(x) por el polinomio D(x)= x-a"

Nos conviene factorizar el Divisor, vamos a hacerlo:

$x^{2} -6x+5$

$(x-5)(x-1)$

Ahora, a esos 2 factores los vamos a igualar a 0, y luego reemplazar en la ecuación, de tal forma que formemos un sistema de ecuaciones:

$(x-5)=0$

$x_{1} =5$

Evaluamos:

$(5)^{4} + p(5)^{2} +q =0$

Como la división es exacta, es decir tiene resto 0

$625 + 25p + q=0$     Ecuación 1

$(x-1)=0$

$x_{2} = 1$

Evaluamos:

$(1)^{4} +p(1) + q=0$

$1+ p + q=0$       Ecuación 2

Por Método de reducción:

$625 + 25p + q=0\\\\1 + p + q= 0$        

Restamos ambas ecuaciones, de manera que se cancela q y nos queda:

$624 + 24p=0$

$24p= -624$

$p= \frac{-624}{24}$

$p= -26$

Reemplazamos p en la segunda ecuación:

$1 - 26 + q=0$

$-25+q=0$

$q= 25$

La solución al sistema es:

p= -26

q= 25

Por lo tanto, q-p va a ser:

$25-(-26)$

$25 + 26$

$51$

Saludoss