Question

Sea I (x; y) el ingreso (en miles de soles) de vender “x” cientos de manzanas y “y” cientos de naranjas. Se sabe que I es homogéneo de grado 12. Halle el ingreso de vender 100 manzanas y 200 naranjas. LaTeX: I\left(x,y\right)=2x^{3a-2}y^{b-2}\:+5x^{11a-3b}

Answer 1

El ingreso por vender 100 manzanas y 200 naranjas es de 69000 soles.

Explicación paso a paso:

Sabemos que la función ingreso es homogénea de grado 12; es decir, los exponentes de la parte literal de cada término deben sumar 12. Por lo tanto, vamos a construir un sistema de ecuaciones lineales con la información dada en los exponentes:

$\bold{I\left(x,y\right)=2x^{3a-2}y^{b-2}\:+5x^{11a-3b}}$

(3a  -  2)  +  (b  -  2)  =  12        ⇒        3a  +  b  =  16

(11a  -  3b)  =  12

Usaremos el método de reducción, multiplicando por  +3  la primera ecuación y sumando el resultado a la segunda ecuación, eliminando  b  y despejando el valor de  a:

9a  +  3b  =  48

11a  -  3b  =  12

20a  =  60        ⇒        a  =  3

Conociendo  a  sustituimos en la primera ecuación y obtenemos  b:

3(3)  +  b  =  16        ⇒        b  =  7

Ahora sustituimos  a  y  b  en la función ingreso:

$\bold{I\left(x,y\right)=2x^{7}y^{5}\:+5x^{12}}$

Queremos saber ¿cuánto ingresa por la venta de 100 manzanas y 200 naranjas?, recordando que  x  y  están expresadas en cientos de manzanas y naranjas, respectivamente; es decir,    x  =  1    y  =  2

$\bold{I\left(1,2\right)~=~2(1)^{7}(2)^{5}\:+5(1)^{12}~=~69}$

El ingreso por vender 100 manzanas y 200 naranjas es de 69000 soles.