Respuestas
Respuesta:
La III) siempre es verdadera.
La I) y la II) no siempre son verdaderas
Explicación paso a paso:
x e y son números reales y distintos entre sí.
1) x ² ≠ y²
No siempre es verdadera. Cuando se eleva al cuadrado un número real, el resultado siempre es positivo, por ejemplo:
sea x = -3
sea y = 3
Son diferentes pero:
x² = (-3)² = 9
y² = 3² = 9
Sus cuadrados son iguales. Por lo tanto, no siempre cumple la primera afirmación.
2) x < x + y
No siempre es verdadera. Cuando se suma un valor a otro valor, no siempre la suma final es un mayor valor, puede ser que el valor sea negativo y la suma realmente signifique disminuir, por ejemplo:
sea x = 5
sea y = -4
Entonces:
x + y = 5 + (-4) = 5 - 4 = 1
Tenemos al final que x + y = 1, que es menor que x.
3) x² - 2xy + y² > 0
Esta sí es siempre verdadera.
la expresión x² - 2xy + y² es el desarrollo del binomio cuadrado perfecto:
x² - 2xy + y² = (x - y)²
Y como sabemos, cualquier número real (positivo o negativo) elevado al cuadrado, siempre da positivo, es decir es mayor que cero:
Sea x = -3
Sea y = -4
Son diferentes y la suma es:
x + y = -3 + (-4) = -3 - 4 = -7
Elevamos al cuadrado:
(x+y)² = (-7)² = 49 que es mayor que cero.
Como vemos, por mas que los números fueron negativos, el resultado siempre es positivo: mayor que cero.