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DEF 1.- Un polinomio de grado n tiene la forma:
1 2 1 2 1 0 ( ) ... n n P x a x a x a x a x a n n
Siendo 0 1 2 , , ,...,
n a a a a números reales y
0 n a DEF 2.- El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a, es el resultado que se obtiene al sustituir x por a, y realizar las operaciones indicadas. DEF 3.- Un número “r” es un cero de un polinomio P(x) si: P(r) = 0 . Un cero de un polinomio también se llama raíz de la ecuación P(x) = 0 1.1 RESULTADO 1 .- Un numero “r” es un cero de un polinomio P(x) si y solo síP(x) tiene un
factor de la forma (x-r) . El número de tales factores se llama multiplicidaddel cero 1.2 RESULTADO 2.- Un cero “r” de un polinomio P(x) se dice que tienemultiplicidad “m” si existe un polinomio Q(x) tal que: ( ) ( ) . ( ) y ( ) 0 m P x x r Q x Q r Un cero de multiplicidad m=1 se llama “simple” ; si m=2 se llama “doble” y si m=3 “triple”... P1.- Sea p(x) = 4x4 + 10 x3 + 19x + 5. Hallar p(-3) P2.- Hallar “k”, sabiendo que – 2 es raíz de P(x) = 5x4 – 7x3 + 11x + k P3 . Si P(x) = x5 – 10x3 + 7x + 6; encontrar P(3); ¿es (x – 3) factor de P(x)? II. POLINOMIOS DE GRADO 2 ( Cuadráticos) Hay algunos resultados acerca de los polinomios de grado 2 P(x)=ax2
+bx+c 2.1 RESULTADO 3.- Si r1 y r2 son ceros o raíces del polinomio P(x) = ax 2 +bx+c. Entonces: 1 2 1 2 ( ) y b c r r r r a a Además el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de la forma: 1 2 P x a x r x r ( ) ( ).( ) 2.2 RESULTADO 4.- En el caso particular de P(x) = x2 +bx+c. Entonces
1 2 1 2 b r r r r ( ) y c EJ RES.- Si 2 ( 2)( ) 6 x x b x cx ¿Cuanto vale c?
SOL: Los factores del primer miembro señalan que -2 y –b son raíces del polinomio luego por el resultado 4 -2 .(-b) = 6 y por tanto b = 3 -((-2)+(-b)) = c c = 5 P4.- El polinomio x2
– 9x +3 tiene raíces r y s. Si x2 +bx +c tiene raíces r 2 y s2 .¿Cuanto valen b
y c? P5.- Un antiguo manuscrito señalaba que el polinomio x2
+bx +30 tiene dos raíces enteras. Pero es imposible leer el valor del entero positivo b ¿Cuantas posibilidades haya para b? P6,- Sean d y e las soluciones de la ecuación 2x2 +3x+5=0 ¿Cuanto vale (d-1).(e-1) ? P7.- Si r y s son las raíces de la ecuación x 2 -6x+2=0 , entonces 1 1r s es igual a: a) -3 b) 3 c) -6 d)6 e) 2 2.3 RESULTADO 5.- El número de raíces del polinomio P(x) = ax 2 +bx+c depende del valor del discriminante 2 b ac 4 , de tal forma que: - Si 2 b ac 4 > 0 Hay dos raíces reales distintas - Si 2 b ac 4 = 0 Hay una raíz real(doble) - Si 2 b ac 4 < 0 No tiene raíces reales EJ RES.- ¿Para que valores de “a” la ecuación ax2 +2x+1 = 0 no tiene raíces reales? SOL: 2 b ac 4 <0 ; 22 – 4a.1<0 ; 4-4a<0 ; a >1 a debe ser mayor que 1 III. POLINOMIOS DE CUALQUIER GRADO 3.1 ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Dados dos polinomios P(x) y Q(x), existen dos polinomios únicos S(x) yR(x)tales que: ( ) ( ). ( ) ( ) con ( ) 0 ó ( ( )) ( ( )) P x Q x S x R x R x grd R x grd Q x Se dice que Q divide a P (o que P es divisible por Q) si el resto de la división R(x) = 0
Teoremas del resto y del factor
3.2 TEOREMA EL RESTO.
El valor numérico del polinomio P(x) para x = a es igual al resto de la división P(x) : (x a). Es
decir existe un polinomio Q(x) de grado una unidad inferior al grado de P(x) que cumple:
P x x a Q x P a ( ) ( ). ( ) ( )
3.3 TEOREMA DEL FACTOR.
(x a) es un factor del polinomio P(x) x = a es una raíz de P(x) P(a)=0
- Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x) = 0.
- Si conocemos que x1, x2 y x3 son las raíces de P(x), entonces el polinomio es de la forma P(x) = c(x x1)(x x2)(x x3), siendo c una constante. RESUMIENDO: x = a es una raíz de P(x) P(a) = 0 (x a) es un factor de P(x) P(x) = (x a) · Q(x), siendo Q(x) de un grado menor que P(x). EJ RES.- Cuando dividimos el polinomio P(x) entre (x -19) , obtenemos de resto 99 y cuando lo dividimos entre (x – 99) obtenemos resto 19 ¿Cuál es el restodela división de P(x) entre (x-19).(x-99)? SOL: Por el algoritmo de la división : P(x) = (x-19).(x-99).Q(x) + (ax+b) Además por el teorema del resto P(19) = 99 P(99) = 19 ; Formamos el sistema: 99 = 19a+b 19 = 99a+b Que tiene como soluciones a = -1 y b = 118 , luego el Resto es R(x) = –x+118 P8.- Determinar los números a y b, sabiendo que P(x)= 2x3 +ax2
+bx – 8 es divisible por (x-1) y que al dividirlo por (x-2) da resto 4
– 10x3 + 7x + 6; encontrar p(3); ¿es (x – 3) factor de P(x)?
P10.- Hallar el valor de m y n para que el polinomio P(x) = x3 + mx2 + nx + 6 + 3) y por (x – 2). 3.4 RAICES ENTERAS DE UN POLINOMIO
Si el polinomio1 21 2 1 0 ( ) ... n n P x a x a x a x a x a n tiene a a a a a La suma de los coeficientes de P(x) P(-1) =0 1 2 3 ...... ( 1)n n Caso n= 2 Si r1 y las raíces del polinomio x2
+px +q , entonces: 2 1 2 ( ).( ) x r x r x px q Al igualar ambos miembros se obtiene: 1 2 . p r r q r r r r r r s r r r
Respuesta:
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Explicación paso a paso:
en la imagen lo explica ;)
