Question

Determine la ecuación de la elipse si los puntos del plano que la forman distan al origen la mitad de su distancia a la recta x+3=0

Answer 1

Hay una elipse de eje mayor horizontal y una de eje mayor vertical, ambas con centro en el (2, 0), que cumplen que los puntos del plano que la forman distan al origen la mitad de su distancia a la recta   x  +  3  =  0.

Explicación paso a paso:

La recta    x  +  3  =  0    es una recta vertical que cruza al eje  x  en el valor  -3   y, por ende, la distancia de cualquier punto a ella se mide por un segmento de recta horizontal.

Esto implica que hay pares de puntos que pertenecen a la elipse y que tienen la misma distancia a la recta vertical. Para que la distancia al origen de estos pares sea la mitad de la distancia a la recta vertical, el origen debe estar sobre un eje de simetría; es decir, el origen está en la misma recta horizontal en que está el centro de la elipse.

Podemos concluir que el origen y el centro están en la misma recta horizontal y que esta recta es el eje de las x.

Ahora bien, la elipse corta el eje  x  en dos puntos (-j, 0) y (j, 0). De ellos, el punto (-j, 0) está entre la recta     x  +  3  =  0    y el origen. Veamos sus distancias de acuerdo con la relación de valor absoluto dada:

|A|  =  c    ⇔    ±A  =  c

-(j  +  3):        -(j  +  3)  =  2j    ⇒    j  =  -1

(j  +  3):        (j  +  3)  =  2j    ⇒    j  =  3

La elipse pasa por los puntos  (-1, 0) y (3, 0); además, el centro de la elipse se ubica en el punto medio del segmento definido por esos dos puntos; es decir, el centro de la elipse será el punto  (2, 0)  =  (h, k).

Nos falta conocer el eje mayor para asignar las distancias  a  y  b  en la ecuación canónica.

Ecuación canónica de eje mayor horizontal:    $\bold{\dfrac{(x~-~h)^2}{a^2}~+~\dfrac{(y~-~k)^2}{b^2}~=~1}$

Ecuación canónica de eje mayor vertical:    $\bold{\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~+~\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~=~1}$

Como los desconocemos, trabajaremos con los números m y n, no nulos y distintos entre si.

Ecuación canónica de la elipse:    $\bold{\dfrac{(x~-~h)^2}{m^2}~+~\dfrac{(y~-~k)^2}{n^2}~=~1}$

Ahora construimos un sistema de ecuaciones, sustituyendo los valores de los puntos (-1, 0) y (3, 0); para hallar los valores de m y n:

$\left \{ {{\dfrac{(-1~-~2)^2}{m^2}~+~\dfrac{(0~-~0)^2}{n^2}~=~1} \atop {\dfrac{(3~-~2)^2}{m^2}~+~\dfrac{(0~-~0)^2}{n^2}~=~1}} \right. \qquad\Rightarrow$

$\left \{ {{\dfrac{9}{m^2}~=~1} \atop {\dfrac{1}{m^2}~=~1}} \right. \qquad\Rightarrow\qquad\bold{\left \{ {{m~=~3} \atop {m~=~1}} \right.}$

Los vértices sobre el eje de simetría vertical serán:

(2, n)  y  (2, -n)

Sabemos que esos puntos están a 5 unidades de la recta    x  +  3  =  0  y que la mitad de esa distancia es la de ese punto al origen; es decir:

$\sqrt{(2~-~0)^{2}~+~(n~-~0)^{2}} ~=~\frac{5}{2}\qquad\Rightarrow\qquad \sqrt{4~+~n^{2}} ~=~\frac{5}{2}\qquad\Rightarrow$

$4~+~n^{2} ~=~\frac{25}{4}\qquad\Rightarrow\qquad n^{2}~=~\frac{9}{4}\qquad\Rightarrow\qquad \bold{n~=~\frac{3}{2}}$

Hay una elipse de eje mayor horizontal y una de eje mayor vertical que cumplen que los puntos del plano que la forman distan al origen la mitad de su distancia a la recta   x  +  3  =  0.    Ellas son:

Ecuación canónica de eje mayor horizontal:    $\bold{\dfrac{(x~-~2)^2}{9}~+~\dfrac{4y^2}{9}~=~1}$

Ecuación canónica de eje mayor vertical:   $\bold{(x~-~2)^2~+~\dfrac{4y^2}{9}~=~1}$