Question

Dos automóviles salen al mismo tiempo de la misma ciudad siguiendo una trayectoria recta, y sus direcciones forman un ángulo de 31°. Uno va a una velocidad de 60 km/h, y el otro a 105 km/h. ¿Cuál es la distancia entre ambos automóviles después de 3 horas?

Answer 1

La distancia entre ambos automóviles después de 3 horas será de aproximadamente 185,53 kilómetros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed { \bold {a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha) }}$

$\boxed { \bold {b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta) }}$

$\boxed { \bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma) }}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Nos piden determinar la distancia que existe entre ambos automóviles los cuales partieron de una misma ciudad al mismo tiempo siguiendo una trayectoria recta al cabo de 3 horas de recorrido, donde cada una de las direcciones de los vehículos forman un ángulo de 31°

Esto se puede representar en un imaginario triángulo en donde

El lado AC (lado a) representa la trayectoria recta del automóvil que va a una velocidad de 60 km/h, el lado BC (lado b) equivale a la trayectoria recta del automóvil que va a una velocidad de 105 km/h, donde ambos partieron al mismo tiempo de la misma ciudad con direcciones que forman un ángulo de 31°, y el lado AB (lado c) conforma la distancia que habrá entre ambos vehículos al cabo de 3 horas de recorrido.

Se pide hallar la distancia entre ambos automóviles después de 3 horas, que es el lado AB (lado c) en el triángulo.

Hallando la distancia de recorrido de los automóviles al cabo de 3 horas

• El automóvil A va a una velocidad de 60 km/h

• Por lo tanto en 3 horas recorre 180 km

• El automóvil B va a una velocidad de 105 km/h

• Por lo tanto en 3 horas recorre 315 km

Hallando la distancia entre ambos automóviles después de 3 horas (Lado AB / c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed { \bold {AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ AC \ . \ cos(\gamma) }}$

ó

$\boxed { \bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma) }}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold {AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ AC \ . \ cos(\gamma) }}$

$\boxed { \bold {AB^{2} = 315^{2} + 180^{2} - 2 \ . \ 315 \ . \ 180 \ . \ cos(31\°) }}$

$\boxed { \bold {AB^{2} = 99225 + 32400 - 113400 \ . \ cos(31\°) }}$

$\boxed { \bold {AB^{2} = 131625 - 113400 \ . \ 0,8571673007021 }}$

$\boxed { \bold {AB^{2} = 131625 - 97202,77 }}$

$\boxed { \bold {AB^{2} = 34422,23 }}$

$\boxed { \bold { \sqrt{ AB^{2} } = \sqrt{ 34422,23 } }}$

$\boxed { \bold {AB \approx 185,532288 }}$

$\boxed { \bold {AB \approx 185,53 \ kil\'ometros }}$

La distancia entre los dos automóviles después de 3 horas será de  ≅ 185,53 km