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Explicación paso a paso:
x^2 - 3x + 54 < 0
Para buscar el conjunto de valores de x que satisfacen esa condición, si es que los hay, primero se tienen que hallar para que valores están las raíces, luego como es una función continua y creciente los valores negativos de la función se encontrarían entre ambas raíces. Usando el método de completando cuadrados:
x^2 + 2*-3/2*x + (-3/2)^2 -(-3/2)^2 +54 < 0
[ x^2 + 2*-3/2*x + (-3/2)^2 ] - 9/4 + 54 < 0
(x - 3/2)^2 -9/4 + 4*54/4 < 0
(x - 3/2)^2 -9/4 + 216/4 < 0
(x - 3/2)^2 + 207/4 < 0
(x-3/2)^2 < -207/4
Como me da como solución que (x-3/2)^2 es un número negativo esto no tiene solución en el conjunto de los números reales, por lo tanto para la ecuación dada no tiene ningún valor en x que cumpla con la condición que esta sea menor a 0.
Espero que hayas entendido. Cualquier duda pregunta.