Question

El conjunto solución de la ecuación trigonométrica 3cos(x)+4=cos(x)+3, con x∈[0,2π[ es

Answer 1

Respuesta: Despejando el coseno de x de la primera relación fundamental, se tiene: cos

2

x=1−sen

2

x

Sustituyendo en la ecuación original: sen

2

x−1sen

2

x=

1

2

; operando:

2sen2

x−1=

1

2

; 2sen2

x=

1

2

1 ; sen

2

x=

3

4

; sen x=

±3

2

x=arc sen

3

2

={

60º360º⋅k

120º360º⋅k

es decir, x={

60º180º⋅k

120º180º⋅k

∀ k ∈ℤ

x=arc sen

−3

2

={

240º360º⋅k

300º360º⋅k

Otra manera de hacerlo más corta:

La ecuación original es el desarrollo del coseno del ángulo doble salvo un signo, por lo que

multiplicamos por (-1) en ambos lados de la ecuación:

sen

2

x−cos

2

x=

1

2 ;

cos

2

x−sen

2

x=

−1

2 ;

cos2x=

−1

2

2x=arc cos

−1

2

={

120º360º⋅k

240º360º⋅k

; por tanto x={

60º180º⋅k

120º180º⋅k

∀ k ∈ℤ

2. Calcular sen 3x en función de sen x

Utilizamos la fórmula de la suma de dos ángulos:

sen2x=sen xx =sen x⋅cos xcos x⋅sen x=2sen x⋅cos x y

sen3x =sen2xx=sen2x⋅cos xcos2x⋅sen x por lo que también necesitaremos la

fórmula del coseno del ángulo doble:

cos2x=cos x⋅cos x−sen x⋅sen x=cos

2

x−sen

2

x=1−sen

2

x−sen

2

x=1−2sen2

x