Question

Para dibujar un terreno con forma triangular, se midieron dos de suslados y el ángulo comprendido entre ellos. ¿Es suficiente con esas medidas para tener determinado el terreno?

Answer 1

Sí, es suficiente con esas medidas poder determinar el terreno triangular. Dadas las medidas de dos lados y el ángulo comprendido entre esos dos lados se puede calcular el lado desconocido, el cual resulta ser el lado opuesto al ángulo dado. Para hallar la medida del lado desconocido se emplea el teorema del coseno.

Procedimiento:

Sí, es suficiente son esas medidas determinar el terreno con forma triangular.

Ya que si se han medido dos de sus lados y el ángulo comprendido entre esos dos lados se puede hallar el valor del lado desconocido del terreno triangular - el cual es el lado opuesto al ángulo dado- empleando la ley de cosenos, también llamada teorema del coseno.

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed { \bold { a^{2} = b^{2} +c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha )}}$

$\boxed { \bold { b^{2} = a^{2} +c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta )}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} +b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto, donde se ha propuesto un ejercicio para ilustrar la pregunta.

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

En el ejercicio propuesto se conocen dos lados de un terreno triangular y el ángulo comprendido entre ellos para ejemplificar la pregunta y entender como se emplea el teorema del coseno en estos casos.

Nos han dado dos lados de un terreno triangular donde uno de sus lados mide 150 metros, y el otro tiene una longitud de 300 metros, y en donde el ángulo comprendido entre esos dos lados tiene un valor de 70°

Resolución del problema:

Debemos determinar la longitud desconocida del lado del terreno triangular, conociendo las distancias de los otros dos lados y el ángulo de 70° comprendido entre los lados que sabemos su valor

Esto lo representamos en un triángulo  que representa al terreno triangular en donde

El lado AC (lado b) representa una de las longitudes medidas del terreno triangular que es de 150 metros, el lado BC (lado a) es la otra longitud medida del terreno triangular la cual es de 300 metros, estando estos dos lados comprendidos bajo un ángulo de 70°. El lado AB (lado c) equivale a la longitud desconocida del terreno triangular.

Vamos a hallar la medida del lado desconocido AB empleando el teorema del coseno

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed { \bold { AB^{2} = BC^{2} +AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ AC \ . \ cos(\gamma )}}$

ó

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} +b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { AB^{2} = BC^{2} +AC^{2} - 2 \ . \ BC \ . \ AC \ . \ cos(\gamma )}}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 300^{2} +150^{2} - 2 \ . \ 300 \ . \ 150 \ . \ cos(70\° )}}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 90000 + 22500 - 90000 \ . \ cos(70\°)}}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 90000 + 22500 - 90000 \ . \ 0,3420201433}}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 112500 - 30781,81}}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 81718,19}}$

$\boxed { \bold { \sqrt{ AB^{2} } = \sqrt{ 81718,19 } }}$

$\boxed { \bold { AB \approx 285,8639 \ metros}}$

$\boxed { \bold { AB \approx 285,86 \ metros}}$

La longitud del lado desconocido del terreno triangular es de aproximadamente 285,86 metros

Como dato adicional es posible conocer el área del terreno triangular con los datos dados

Se multiplica el valor de los lados conocidos por el seno del ángulo comprendido entre ellos dividiendo entre dos

$\boxed { \bold { \'Area \ Terreno \ Triangular = \frac{ Lado \ a \ . \ Lado \ b \ . \ sen(70\°) }{2} }}$

$\boxed { \bold { \'Area \ Terreno \ Triangular = \frac{ 300 \ metros \ . \ 100 \ metros \ . \ sen(70\°) }{2} }}$

$\boxed { \bold { \'Area \ Terreno \ Triangular = \frac{ 45000 \ metros^{2} \ . \ 0,9396926207 }{2} }}$

$\boxed { \bold { \'Area \ Terreno \ Triangular = \frac{ 42296,17 \ metros^{2} }{2} }}$

$\boxed { \bold { \'Area \ Terreno \ Triangular \approx 21043,08 \ metros^{2} }}$