Question

cual es la ecuacion general de la circunferencia de radioraiz cuadrada de 13 y es tangente a la recta 2x+3y-7=0, en el punto (2;1)

Answer 1

Debemos hallar el centro.

La forma más simple de hallarlo es mediante el álgebra vectorial.

El vector normal a la recta Ax + By + C = 0 es N = (A, B)

Para este caso es N = (2, 3)

Su módulo es |N| = √(2² + 3²) = √13, que es el radio de la circunferencia.

El centro es OC = (2, 1) + N = (2, 1) + (2, 3) = (4, 4)

La ecuación de la circunferencia es (x - 4)² + (y² - 4)² = 13

Hay otra con centro en OC = (2, 1) - (2, 3) = (0, - 2)

Su ecuación es x² + (y + 2)² = 13

Adjunto gráfico con las respuestas.

Saludos Herminio

Answer 2

Respuesta:

${x}^{2} + {y}^{2} - 8x - 8y + 19 = 0$

${x}^{2} + {y}^{2} + 4y - 9 = 0$

Explicación paso a paso:

$m = - \frac{2}{3} \: y \: su \: perpendicular \: \frac{3}{2}$

$m = \frac{k - 1}{h - 2}$

$\frac{k - 1}{h - 2} = \frac{3}{2}$

$2k - 3h = - 4$

con la ecuación y el radio

$\sqrt{13} = \frac{2h + 3k - 7}{ \sqrt{ {2}^{2} + {3}^{2} } }$

como el numerador es valor absoluto tendremos dos resultados, el primero seria

$2h + 3k - 7 = 13$

$3k + 2h = 20$

hacemos un sistema con las ecuaciones obtenidas

$2k - 3h = - 4$

$3k + 2h = 20$

resolvemos y obtenemos

$h = 4 \: \: \: y \: \: k = 4$

sustituimos en la ecuación de la circunferencia

${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = { (\sqrt{13}) }^{2}$

resolveremos y da

${x}^{2} + {y}^{2} - 8x - 8y + 19 = 0$

el segundo

$2h + 3k - 7 = - 13$

$3k + 2h = - 6$

realizamos el segundo sistema

$2k - 3h = - 4$

$3k + 2h = - 6$

resolvemos y obtenemos

$h = 0 \: \: \: k = - 2$

sustituimos en la ecuación de la circunferencia

${(x - 0)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = { (\sqrt{13} )}^{2}$

resolveremos y obtenemos

${x}^{2} + {y}^{2} + 4y - 9 = 0$