Question

Considere dos placas paralelas infinitas horizontales con una separación de 1 cm entre sí. Las placas tienen carga opuesta uniformemente distribuida y una densidad de carga de magnitud 1.77x 10^-8 C/m2. Una partícula con masa 1 x 10^-16 kg y con una carga negativa de 1xµC parte de la placa positiva inferior con una rapidez inicial de 1x 10^5 m/s con un ángulo de 45° sobre la horizontal. Describa matemáticamente la trayectoria de la partícula. ¿Contra qué placa impactará primero la partícula?, ¿y dónde la impactará respecto a su punto de partida?

Answer 1

La partícula impacta primero con la placa negativa superior a 1,01mm en la dirección horizontal respecto del punto de partida.

Explicación:

La placa inferior es la positiva y la partícula negativa cuando se desprende de esta será atraída por la placa inferior y repelida por la placa superior. La posición horizontal será:

$x=v_0.cos(45\°)t$

Y la posición vertical:

$y=v_0.sen(45\°)t-\frac{1}{2}at^2$

Si tomamos como referencia la placa positiva, la fuerza de atracción y la de repulsión se refuerzan y tiran en el sentido negativo, queda;

$ma=F_a+F_r\\\\ma=\frac{Q\sigma}{2\epsilon_0}y+\frac{Q\sigma}{2\epsilon_0}(d-y)\\\\ma=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}.d.Q\\\\a=\frac{\sigma}{2m\epsilon_0}.d.Q=\frac{1,77\times 10^{-8}C/m^2}{2.1\times 10^{-16}kg.8,85\times 10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}}.0,01m.1\times 10^{-6}C=1\times 10^{11}\frac{m}{s^2}$

Tenemos que la aceleración es constante, al ser su valor mucho mayor que la constante g, despreciamos el peso de la partícula, asimismo podemos despejar t en la posición horizontal y reemplazarlo en la vertical para hallar la ecuación de la trayectoria:

$t=\frac{x}{v_0.cos(45\°)}\\\\y=x\frac{v_0.sen(45\°)}{v_0.cos(45\°)}t-\frac{1}{2}a\frac{x^2}{v_0^2cos^2(45\°)}\\\\y=x-\frac{1}{2}a\frac{x^2}{\frac{v_0^2}{2}}\\\\y=x-1\times 10^{11}\frac{m}{s^2}\frac{x^2}{1\times 10^{10}\frac{m}{s}}\\\\y=x-10x^2$

Aquí podemos determinar si la partícula llega a la placa negativa:

$0,01=x-10x^2\\\\-10x^2+x-0,01=0\\\\x=\frac{-1\ñ\sqrt{1^2-4(-1)(-0,01)}}{2.(-10)}\\\\x=\frac{-1\ñ\sqrt{0,96}}{-20}\\\\x=1,01\times 10^{-3}m; x=0,099m$

Tomamos la menor de esas distancias como la distancia del punto inicial donde la placa negativa es golpeada por la partícula. Concluimos que la partícula llega a impactar en la placa negativa, pudiendo luego rebotar para regresar a la placa positiva.