Question

Conocemos la distancia de nuestra casa a unas pistas de tenis, que es de 137 metros; la distancia de nuestra casa a un embarcadero, que es de 211 metros, y el ángulo de 43°, bajo el cual se ve desde nuestra casa el segmento cuyos extremos son las pistas de tenis y el embarcadero. ¿Cuál es la distancia que hay desde las pistas de tenis al embarcadero?

Answer 1

La distancia desde las pistas de tenis al embarcadero es de aproximadamente  144,94 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold {a^{2} = b^{2} + c^{2} \ . -2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos( \alpha )}}$

$\boxed {\bold {b^{2} = a^{2} + c^{2} \ . -2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos( \beta )}}$

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} \ . -2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos( \gamma )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Resolución del problema:

Nos piden determinar la distancia que existe entre unas pistas de tenis y un embarcadero, conociendo las distancias desde nuestra casa hasta las pistas de tenis y el embarcadero y el ángulo de 43° bajo el cual se ve desde nuestra casa la distancia a hallar

Esto se puede representar en un imaginario triángulo en donde

El lado AC (lado b) representa a la distancia desde nuestra casa hasta las pistas de tenis, el lado AB (lado c) equivale a la distancia desde nuestra casa hasta el embarcadero, y el lado BC (lado a) es la distancia entre las pistas de tenis y el embarcadero, vista esa longitud desde nuestra casa con un ángulo de 43°

Nos piden hallar la distancia del lado BC (lado a), es decir la distancia entre las pistas de tenis y el embarcadero.

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold {BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} \ . -2 \ . \ AC \ . \ AB \ . \ cos( \alpha )}}$

ó

$\boxed {\bold {a^{2} = b^{2} + c^{2} \ . -2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos( \alpha )}}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold {BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} \ . -2 \ . \ AC \ . \ AB \ . \ cos( \alpha )}}$

$\boxed {\bold {BC^{2} = 137^{2} + 211^{2} \ . -2 \ . \ 137 \ . \ 211 \ . \ cos(43\°) }}$

$\boxed {\bold {BC^{2} = 18769 + 44521 \ . -57814 \ . \ cos(43\°) }}$

$\boxed {\bold {BC^{2} = 63290 \ . -57814 \ . \ 0,7313537016 }}$

$\boxed {\bold {BC^{2} = 63290 - 42282,48 }}$

$\boxed {\bold {BC^{2} = 21007,52 }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ BC^{2} } =\sqrt{21007,52 } }}$

$\boxed {\bold {BC \approx 144,9397 }}$

$\boxed {\bold {BC \approx 144,94 \ metros }}$