Question

Si: sen4x = cos(x + 45º) Calcular: cos (5x)

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Teniendo en cuanta que

cos(ang) = sen(ang+90)

sen(4x) = cos(x + 45º) = sen(x + 45 +90)

sen(4x) - sen(x+135) = 0

Por la identidad trigonometrica:

sen(a) - sen(b) = 2*cos( [a+b]/2 ) * sen( [a-b]/2 )

sen(4x) - sen(x+135) = 2*cos( [4x+x+135]/2 )*sen( [4x-(x+135)]/2 ) = 0

2*cos( [5x+135]/2 )*sen( [3x-135)]/2 ) = 0

Por lo tanto los ángulos que satisfacen la ecuación serán aquellos en los que el cos( [5x+135]/2 ) = 0  o cuando sen([3x-135)]/2) = 0 , por lo tanto:

cos( [5x+135]/2 ) = 0   ;  cos(90 + 180*n) = 0  con n: números entero

(5x+135)/2 = 90+180*n

5x + 135 = 2*(90+180*n)

5x+135 = 180+360*n

5x = 180-135+360n = 45 +360n

x = (45+360n)/5

x1 = 9 + 72n ;  n: números entero.

sen([3x-135)]/2) = 0   ;  sen(0 + 180*n) = 0 con n: números enteros.

(3x-135)/2 = 0 + 180*n

3x - 135 = 2*180*n = 360*n

3x = 135 + 360*n

x = (135+360*n)/3

x2 = 45 + 120*n    con n: números enteros.

Comprobamos si está bien.

Para n = 0

x1 = 9

2*cos( [5*9+135]/2 ) = 2*cos( [45+135]/2 ) = 2*cos(180/2) = 2*cos(90) = 0

x2= 45

sen([3*45-135]/2) = sen([135-135]/2) = sen(0) = 0